Une balle lancée vers le haut ralentit, s’arrête un instant puis retombe de plus en plus vite : sa vitesse change à chaque instant, en valeur comme en direction. Pour décrire précisément cette évolution, la physique utilise un outil géométrique : la variation du vecteur vitesse. En première spécialité, on apprend à construire le vecteur vitesse, puis sa variation, à partir d’une simple chronophotographie, et à en déduire des informations sur les forces qui agissent sur le mobile.
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Décrire un mouvement : référentiel, trajectoire, vitesse
Décrire un mouvement n’a de sens que par rapport à un référentiel, c’est-à-dire un objet de référence supposé fixe (le sol du laboratoire, par exemple), muni d’un repère d’espace et d’une horloge. Dans ce référentiel, le système étudié (assimilé à un point M, souvent son centre d’inertie) décrit une trajectoire : l’ensemble des positions successives occupées au cours du temps.
La vitesse moyenne entre deux positions est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours. Mais elle masque les variations : une voiture qui roule 100 km en 1 h a une vitesse moyenne de 100 km/h même si elle s’est arrêtée à un feu. Pour décrire le mouvement à chaque instant, on introduit le vecteur vitesse, qui précise non seulement « à quelle allure » mais aussi « dans quelle direction et dans quel sens » le point se déplace.
Le vecteur vitesse d’un point M à l’instant t est caractérisé par : son origine en M ; sa direction : la tangente à la trajectoire en M ; son sens : celui du mouvement ; sa valeur v (en m/s), la vitesse du point à cet instant.
Construire le vecteur vitesse sur une chronophotographie
Une chronophotographie (ou un pointage vidéo) donne les positions M0, M1, M2… du point à des instants séparés par une durée constante τ. On ne peut pas mesurer une vitesse « instantanée » exacte, mais on l’approche par la vitesse moyenne sur un intervalle très court centré sur l’instant considéré.
vi = Mi−1Mi+1 ÷ (2τ)
Mi−1Mi+1 : distance réelle entre les positions voisines, en mètres (m) ; τ : durée entre deux positions successives, en secondes (s) ; vi : valeur de la vitesse en Mi, en m/s.
Le vecteur vi est tracé en Mi, parallèle à la corde Mi−1Mi+1 et orienté dans le sens du mouvement. Sa longueur est proportionnelle à vi selon une échelle choisie, par exemple 1 cm pour 0,20 m/s.
Un mobile glisse sur une table, on relève sa position toutes les τ = 0,050 s. Positions mesurées sur la règle, en cm : M0 à 0 ; M1 à 1,0 ; M2 à 3,0 ; M3 à 6,0 ; M4 à 10,0 ; M5 à 15,0. Pour M2 : M1M3 = 6,0 − 1,0 = 5,0 cm = 0,050 m, donc v2 = 0,050 ÷ (2 × 0,050) = 0,50 m/s. De même v1 = 0,30 m/s, v3 = 0,70 m/s et v4 = 0,90 m/s.
Le vecteur variation de vitesse Δv
Quand le vecteur vitesse change (de valeur, de direction ou des deux), on mesure ce changement par un nouveau vecteur : la différence entre le vecteur vitesse « après » et le vecteur vitesse « avant ».
Le vecteur variation de vitesse au point Mi est Δvi = vi+1 − vi−1. Il est tracé en Mi. Il s’exprime en m/s, comme la vitesse. Il correspond à une durée 2τ entre les deux instants considérés.
Pour construire Δvi : (1) tracer vi−1 et vi+1 en respectant l’échelle ; (2) les reporter à partir d’une même origine O ; (3) joindre l’extrémité de vi−1 à l’extrémité de vi+1 : cette flèche est Δvi ; (4) la tracer en Mi et mesurer sa longueur pour en déduire sa valeur.
Pour le mobile précédent, le mouvement est rectiligne : Δv2 = v3 − v1 = 0,70 − 0,30 = 0,40 m/s, dirigé dans le sens du mouvement. On obtient la même valeur pour Δv3 = v4 − v2 = 0,90 − 0,50 = 0,40 m/s : la variation de vitesse est identique à chaque pas.
Variation du vecteur vitesse et nature du mouvement
L’aspect de Δv renseigne directement sur le mouvement. Trois situations sont à connaître, et le tableau suivant les résume.
| Mouvement | Vecteur vitesse | Vecteur Δv |
|---|---|---|
| Rectiligne uniforme | Constant (direction, sens et valeur) | Nul : Δv = 0 |
| Rectiligne accéléré | Même direction, valeur qui augmente | Même direction et même sens que v |
| Rectiligne ralenti | Même direction, valeur qui diminue | Même direction, sens opposé à v |
| Circulaire uniforme | Valeur constante, direction qui tourne | Non nul, dirigé vers le centre du cercle |
Lien avec les forces : ce que dit Δv
Le vecteur Δv ne se contente pas de décrire : il renseigne sur la cause du changement de mouvement. Le principe d’inertie affirme que, dans un référentiel galiléen, un système soumis à des forces qui se compensent est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. Autrement dit, Δv = 0 lorsque la somme des forces est nulle. Réciproquement, si Δv n’est pas nul, les forces ne se compensent pas.
Dans un référentiel galiléen, le vecteur Δvi a la même direction et le même sens que la somme des forces ΣF qui s’exercent sur le système en Mi. Δv = 0 ⇔ ΣF = 0 (pour un système de masse constante).
Cette propriété est qualitative : la direction et le sens de Δv donnent ceux de la force résultante, mais pas sa valeur. Pour relier les valeurs, il faudra introduire la masse (deuxième loi de Newton, chapitre suivant). Quand on connaît la durée 2τ, le quotient Δvi ÷ (2τ) mesure la rapidité du changement de vitesse : il s’exprime en m/s2.
Un mobile décrit un cercle de rayon R = 0,50 m à la vitesse constante v = 1,0 m/s, avec τ = 0,10 s. Entre deux positions successives, il tourne de vτ ÷ R = 0,20 rad. Les vecteurs vi−1 et vi+1, de même valeur 1,0 m/s, forment donc un angle de 0,40 rad. Le triangle isocèle donne Δv = 2 × 1,0 × sin(0,20) ≈ 0,40 m/s, dirigé vers le centre du cercle. Alors Δv ÷ (2τ) = 0,40 ÷ 0,20 ≈ 2,0 m/s2, valeur égale à v2 ÷ R = 1,0 ÷ 0,50 = 2,0 m/s2. Une force dirigée vers le centre est donc nécessaire pour maintenir le mouvement circulaire, même à vitesse constante.
Une vitesse de valeur constante ne signifie pas Δv = 0 : dans un virage pris à 50 km/h constants, le vecteur vitesse change de direction, donc Δv ≠ 0 et une force résultante s’exerce. Autre erreur : tracer Δv le long de la trajectoire au lieu de le construire par la différence de deux vecteurs vitesse.
L’essentiel à retenir
- Le vecteur vitesse en Mi est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; sa valeur est vi = Mi−1Mi+1 ÷ (2τ).
- Le vecteur variation de vitesse est Δvi = vi+1 − vi−1, tracé en Mi ; on le construit par différence de deux vecteurs placés à la même origine.
- Mouvement rectiligne uniforme : Δv = 0 ; accéléré : Δv de même sens que v ; ralenti : Δv de sens opposé à v.
- Mouvement circulaire uniforme : Δv n’est pas nul, il est dirigé vers le centre du cercle.
- Δv a la direction et le sens de la somme des forces ΣF ; Δv = 0 si les forces se compensent.
- Le quotient Δv ÷ (2τ) s’exprime en m/s2 et prépare la deuxième loi de Newton.