Une loupe fait paraître les lettres plus grosses, un appareil photo projette un paysage entier sur un capteur de quelques millimètres, et un vidéoprojecteur remplit un mur avec l’image d’une minuscule diapositive. Derrière tous ces instruments se cachent des lentilles minces. Ce cours de première t’apprend à prévoir, par le dessin et par le calcul, où se forme l’image et quelle taille elle a.
Ce cours est à télécharger en PDF et à imprimer gratuitement : le bouton se trouve en bas de la page, sans inscription.
Lentilles minces convergentes : ce qu’on observe
Une lentille est un morceau de matière transparente (verre ou plastique) limité par des surfaces courbes. On distingue les lentilles à bords minces, qui sont convergentes (elles rapprochent les rayons de l’axe), et les lentilles à bords épais, qui sont divergentes. Le programme de première porte sur les lentilles minces convergentes, dont l’épaisseur est négligeable devant les distances en jeu. On les schématise par un segment vertical muni de deux flèches vers l’extérieur.
Une lentille mince convergente est caractérisée par :
- son axe optique, droite perpendiculaire au plan de la lentille et passant par son centre ;
- son centre optique O, point de l’axe où un rayon traverse la lentille sans être dévié ;
- son foyer image F’ : point de l’axe où convergent, après la lentille, tous les rayons arrivant parallèles à l’axe ;
- son foyer objet F, symétrique de F’ par rapport à O ;
- sa distance focale f’ = OF’, positive pour une lentille convergente, en mètres.
C = 1 ÷ f’
La vergence C s’exprime en dioptries (δ), 1 δ = 1 m−1 ; f’ en mètres (m).
Une lentille de distance focale f’ = 25 cm = 0,25 m a pour vergence C = 1 ÷ 0,25 = 4,0 δ. Plus la lentille est convergente, plus sa distance focale est courte.
Construire l’image d’un objet
Un objet AB, perpendiculaire à l’axe avec A sur l’axe, donne une image A’B’ aussi perpendiculaire à l’axe, avec A’ sur l’axe : il suffit de construire B’. On utilise trois rayons particuliers issus de B, dont deux suffisent.
1. Un rayon parallèle à l’axe ressort en passant par le foyer image F’.
2. Un rayon passant par le centre optique O n’est pas dévié.
3. Un rayon passant par le foyer objet F ressort parallèle à l’axe.
B’ est le point où ces rayons se coupent après la lentille ; A’ est la projection de B’ sur l’axe.
Image réelle et image virtuelle
Si les rayons ressortent de la lentille en convergeant vraiment en B’, l’image est réelle : on peut la recueillir sur un écran. Si les rayons ressortent en divergeant, ils semblent provenir d’un point B’ situé avant la lentille, obtenu par le prolongement (en pointillés) des rayons émergents : l’image est virtuelle, on ne peut pas la recueillir sur un écran mais on peut la voir en regardant à travers la lentille. C’est le cas de la loupe : l’objet est placé entre le foyer objet F et la lentille.
La relation de conjugaison et le grandissement
La construction est utile pour comprendre ; le calcul donne des valeurs précises. On oriente l’axe optique dans le sens de propagation de la lumière, avec l’origine en O : les distances sont des mesures algébriques. L’objet réel est avant la lentille, donc OA < 0 ; une image réelle est après la lentille, donc OA’ > 0.
1 ÷ OA’ − 1 ÷ OA = 1 ÷ f’ (relation de conjugaison)
γ = A’B’ ÷ AB = OA’ ÷ OA (grandissement)
OA, OA’ et f’ en mètres (ou toutes en centimètres) ; γ est sans unité. Si γ < 0, l’image est renversée ; si γ > 0, elle est droite ; si |γ| > 1, elle est agrandie.
Objet à 12 cm d’une lentille de focale f’ = 4,0 cm : OA = −12 cm. 1 ÷ OA’ = 1 ÷ f’ + 1 ÷ OA = 1 ÷ 4,0 − 1 ÷ 12 = 0,250 − 0,0833 = 0,1667 cm−1, donc OA’ = 6,0 cm : image réelle. γ = OA’ ÷ OA = 6,0 ÷ (−12) = −0,50 : renversée, deux fois plus petite. Pour AB = 2,0 cm : A’B’ = −1,0 cm. On retrouve la figure ci-dessus.
Objet à 2,0 cm de la même lentille (entre F et O) : OA = −2,0 cm. 1 ÷ OA’ = 0,250 − 0,500 = −0,250 cm−1 : OA’ = −4,0 cm (image avant la lentille, donc virtuelle) ; γ = (−4,0) ÷ (−2,0) = +2,0 : droite, deux fois plus grande.
Les cas à connaître
| Position de l’objet (OA < 0) | Image | Nature et taille |
|---|---|---|
| Au-delà de 2f’ (|OA| > 2f’) | Entre F’ et 2F’ (f’ < OA’ < 2f’) | Réelle, renversée, réduite |
| En 2f’ (|OA| = 2f’) | OA’ = 2f’ | Réelle, renversée, même taille (γ = −1) |
| Entre 2f’ et f’ | Au-delà de 2F’ (OA’ > 2f’) | Réelle, renversée, agrandie |
| En F (|OA| = f’) | À l’infini | Pas d’image nette sur un écran |
| Entre F et O (|OA| < f’) | Du même côté que l’objet (OA’ < 0) | Virtuelle, droite, agrandie (loupe) |
Les distances sont algébriques : OA est négatif pour un objet réel. Oublier ce signe donne 1 ÷ OA’ = 1 ÷ f’ − 1 ÷ OA, un résultat faux. De même, l’image virtuelle n’est pas « fausse » : elle est bien visible à l’œil, mais ne peut pas être projetée sur un écran. Enfin, ne confonds pas f’ (en mètres) avec la vergence C (en dioptries).
L’essentiel à retenir
- Une lentille mince convergente a un centre optique O, deux foyers F et F’ et une distance focale f’ = OF’ > 0 ; sa vergence est C = 1 ÷ f’ en dioptries.
- Pour construire B’ : rayon parallèle à l’axe → F’ ; rayon par O non dévié ; rayon par F → parallèle à l’axe.
- Relation de conjugaison : 1 ÷ OA’ − 1 ÷ OA = 1 ÷ f’ ; grandissement γ = OA’ ÷ OA = A’B’ ÷ AB.
- Image réelle : OA’ > 0 (sur un écran) ; image virtuelle : OA’ < 0 (loupe, objet entre F et O).
- γ < 0 : image renversée ; γ > 0 : image droite ; |γ| > 1 : image agrandie.