Une balle lancée vers le ciel ralentit en montant, s’arrête, puis retombe en accélérant : sa vitesse change à chaque instant, et pourtant une grandeur reste la même tout au long du mouvement. Cette grandeur, c’est l’énergie mécanique, somme de deux formes d’énergie que l’on apprend ici à calculer, à représenter et à suivre, avec ou sans frottements.
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L’énergie potentielle de pesanteur
Nous savons déjà qu’un système de masse m animé d’une vitesse v possède une énergie cinétique Ec = ½ m v². Un objet situé en altitude possède, lui aussi, une capacité à « donner » de l’énergie : s’il tombe, sa vitesse augmente. Cette énergie, liée à la position dans le champ de pesanteur terrestre, est l’énergie potentielle de pesanteur, notée Epp.
Epp = m × g × z
Epp en joules (J), m en kilogrammes (kg), g = 9,81 N/kg (intensité de la pesanteur), z en mètres (m) : altitude repérée sur un axe vertical orienté vers le haut.
Le choix de l’origine des altitudes est libre : on prend souvent le sol, parfois une table. Une énergie potentielle peut donc être nulle, positive ou négative (si l’objet est en dessous de l’origine, z < 0). Seules comptent les variations d’énergie potentielle, qui ne dépendent pas de ce choix.
Une balle de masse m = 2,0 kg est à l’altitude z = 1,5 m. Epp = 2,0 × 9,81 × 1,5 = 29,43 J, soit Epp ≈ 29 J (deux chiffres significatifs, comme les données).
Le travail du poids et la variation d’énergie potentielle
Lorsqu’un objet passe d’un point A d’altitude zA à un point B d’altitude zB, le travail du poids est égal à la force multipliée par le déplacement dans la direction de la force. Avec un axe vertical orienté vers le haut :
WAB(P) = m × g × (zA − zB) = −ΔEpp
Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, pas du trajet suivi : le poids est une force conservative. Il est positif à la descente, négatif à la montée.
Une bille de 0,50 kg descend de zA = 3,0 m à zB = 1,0 m. WAB(P) = 0,50 × 9,81 × (3,0 − 1,0) = 9,81 J, soit 9,8 J. La variation d’énergie potentielle vaut donc ΔEpp = −9,8 J : la bille a « perdu » de l’énergie potentielle.
L’énergie mécanique d’un système
L’énergie mécanique d’un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : Em = Ec + Epp, en joules (J).
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique : ΔEc = ΣW(forces). Si la seule force qui travaille est le poids, ΔEc = W(P) = −ΔEpp. On en déduit ΔEc + ΔEpp = 0, c’est-à-dire ΔEm = 0.
L’énergie mécanique se conserve lorsque le système n’est soumis qu’à des forces conservatives (le poids), ou à des forces qui ne travaillent pas (tension d’un fil, réaction d’un support lisse, toujours perpendiculaires au déplacement). Alors Ec et Epp se convertissent l’une en l’autre, leur somme restant constante.
Une balle de 0,200 kg est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 5,0 m. En A : Em = 0 + 0,200 × 9,81 × 5,0 = 9,81 J. Au sol, Epp = 0 donc Ec = 9,81 J, soit ½ m v² = 9,81 d’où v = √(2 × 9,81 ÷ 0,200) = 9,9 m/s. Le calcul général donne v = √(2 g h) : la masse disparaît, tous les objets lâchés de la même hauteur arrivent à la même vitesse (en l’absence de frottements).
Lire un diagramme d’énergie
Pour suivre un mouvement, on trace Ec, Epp et Em en fonction de l’altitude z ou du temps. Pour une balle lancée verticalement vers le haut, Epp = m g z est une droite passant par l’origine dont la pente vaut m g. Ec = Em − Epp est une droite de pente −m g, et Em est une droite horizontale.
Au départ (z = 0), Epp = 0 et Ec = ½ × 0,20 × 8,0² = 6,4 J, donc Em = 6,4 J. Au sommet, v = 0 donc Epp = Em : m g zmax = 6,4 J, d’où zmax = 6,4 ÷ (0,20 × 9,81) ≈ 3,3 m.
Quand les frottements interviennent
Les forces de frottement, la résistance de l’air ou la force d’une personne qui pousse sont des forces non conservatives : leur travail dépend du chemin suivi. Un frottement s’oppose toujours au mouvement, donc son travail est négatif et l’énergie mécanique diminue.
ΔEm = Em(B) − Em(A) = WAB(forces non conservatives)
Avec des frottements, ΔEm < 0 : l’énergie mécanique perdue est transférée au milieu extérieur, surtout sous forme de transfert thermique (les surfaces et l’air s’échauffent). L’énergie n’est pas détruite : elle n’est plus mécanique.
Pour la caisse de la figure : ΔEm = 160 − 588,6 = −428,6 J, soit W(f) = ΔEm ≈ −4,3 × 10² J. Si la pente mesure 8,0 m de long, la force de frottement moyenne vaut f = 428,6 ÷ 8,0 ≈ 54 N.
Trois confusions reviennent souvent : oublier que z se compte à partir de l’origine choisie (Epp peut être négative) ; croire que l’énergie mécanique se conserve toujours, alors qu’elle diminue avec des frottements ; écrire une altitude en centimètres dans m g z au lieu de la convertir en mètres.
L’essentiel à retenir
- Epp = m g z (J), avec z l’altitude sur un axe vertical orienté vers le haut ; l’origine est un choix.
- WAB(P) = m g (zA − zB) = −ΔEpp : le poids est une force conservative.
- L’énergie mécanique est Em = Ec + Epp.
- Sans force non conservative : Em est constante, ΔEc = −ΔEpp.
- Avec frottements : ΔEm = W(forces non conservatives) < 0, l’énergie perdue est transférée sous forme thermique.
- Dans un graphique, Epp est une droite de pente m g, et Em une droite horizontale quand il n’y a pas de frottements.