Ce contrôle sur la relation de Bernoulli et l’écoulement d’un fluide dure 1 h 30. Il porte sur le débit, la conservation du débit volumique et la relation de Bernoulli pour un écoulement parfait, incompressible et stationnaire. La calculatrice est autorisée, aucun document. Les réponses sont justifiées et les résultats donnés avec leur unité. Barème total : 20 points.
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Le sujet du contrôle sur Bernoulli
Données : masse volumique de l’eau ρ = 1,00 × 103 kg/m3 ; intensité de la pesanteur g = 9,8 N/kg. Dans tout le problème, l’eau est considérée comme un fluide parfait et incompressible.
Exercice 1 : débit dans une conduite (5 points)Une conduite d’eau de diamètre d1 = 40 mm se rétrécit jusqu’au diamètre d2 = 20 mm. Dans la partie large, l’eau s’écoule à la vitesse v1 = 1,5 m/s.
- Définir le débit volumique Q et donner sa relation avec la vitesse v et la section S.
- Calculer le débit volumique Q dans la conduite, en m3/s puis en L/s.
- Énoncer la conservation du débit et calculer la vitesse v2 dans la partie étroite.
- Cette conduite remplit un bassin de 500 L. Calculer la durée nécessaire, en minutes.
Un tube horizontal de Venturi est parcouru par de l’eau. Sa section large a un diamètre d1 = 40 mm, sa section étroite un diamètre d2 = 20 mm. La vitesse dans la section large vaut v1 = 0,50 m/s. Deux tubes verticaux ouverts à l’air libre, placés dans chaque section, permettent de mesurer la pression.
- Énoncer la relation de Bernoulli et préciser les conditions de validité.
- Calculer la vitesse v2 dans la section étroite.
- Appliquer la relation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 (tube horizontal) et calculer la différence de pression P1 − P2.
- En déduire la différence de hauteur Δh entre les niveaux d’eau des deux tubes verticaux. Dans quel tube le niveau est-il le plus haut ? Justifier.
- Calculer le débit volumique, en L/s.
Un grand réservoir ouvert à l’air libre contient de l’eau. Un petit orifice circulaire de diamètre 1,0 cm est percé dans sa paroi verticale, à la profondeur h = 1,8 m sous la surface libre et à la hauteur H = 1,0 m au-dessus du sol. Le jet sort horizontalement. On suppose que le niveau de la surface libre varie très lentement (vitesse de surface négligeable).
- Appliquer la relation de Bernoulli entre un point A de la surface libre et un point B du jet à la sortie de l’orifice, pour démontrer la relation de Torricelli vB = √(2 g h).
- Calculer la vitesse d’éjection vB.
- Calculer le débit volumique à la sortie de l’orifice, en L/s.
- Le jet quitte l’orifice horizontalement : calculer la durée de sa chute jusqu’au sol puis la portée d du jet.
Une conduite d’eau monte d’un point A à un point B situé 5,0 m plus haut. En A, le diamètre est dA = 50 mm, la pression PA = 2,0 × 105 Pa et la vitesse vA = 2,0 m/s. En B, la vitesse est vB = 4,0 m/s.
- Écrire la relation de Bernoulli entre A et B.
- Calculer le diamètre dB de la conduite en B.
- Calculer la pression PB.
- Citer une limite du modèle de l’écoulement parfait pour une conduite réelle.
