Voici le corrigé de Bernoulli et de l’écoulement des fluides du contrôle, avec les calculs détaillés et les points de chaque question sur un total de 20. Contrôlez les conversions de diamètres en mètres et l’usage des pascals.
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Corrigé de Bernoulli : la correction détaillée avec le barème
Correction de l’exercice 1 : débit dans une conduite (5 points)- Le débit volumique est le volume de fluide traversant une section par unité de temps : Q = V ÷ Δt, en m3/s. Pour un écoulement de vitesse uniforme, Q = S × v (1 pt).
- S1 = π d12 ÷ 4 = π × (0,040)2 ÷ 4 = 1,26 × 10−3 m2. Q = S1 v1 = 1,26 × 10−3 × 1,5 = 1,9 × 10−3 m3/s, soit 1,9 L/s (1 pt).
- Pour un fluide incompressible en régime stationnaire, le débit est le même à travers toute section : S1 v1 = S2 v2. S2 = π × (0,020)2 ÷ 4 = 3,14 × 10−4 m2, donc v2 = Q ÷ S2 = 1,885 × 10−3 ÷ 3,14 × 10−4 = 6,0 m/s (le diamètre est divisé par 2, la section par 4, la vitesse multipliée par 4) (1,5 pt).
- t = V ÷ Q = 0,500 ÷ 1,885 × 10−3 = 265 s, soit 4,4 min (1,5 pt).
- Pour un écoulement parfait, incompressible et stationnaire, le long d’une ligne de courant : P + ½ ρ v2 + ρ g z = constante. Chaque terme est en pascals (1 pt).
- v2 = v1 × (d1 ÷ d2)2 = 0,50 × 4 = 2,0 m/s (1 pt).
- Tube horizontal : z1 = z2, donc P1 + ½ ρ v12 = P2 + ½ ρ v22 et P1 − P2 = ½ ρ (v22 − v12) = 0,5 × 1,00 × 103 × (4,0 − 0,25) = 1,9 × 103 Pa (1,5 pt).
- Dans chaque tube vertical, P = Patm + ρ g h, donc P1 − P2 = ρ g Δh et Δh = 1875 ÷ (1,00 × 103 × 9,8) = 0,19 m, soit 19 cm. Le niveau est plus haut dans le tube 1 (section large) car la pression y est plus grande : la vitesse y est plus faible (1,5 pt).
- Q = S1 v1 = 1,257 × 10−3 × 0,50 = 6,3 × 10−4 m3/s, soit 0,63 L/s (1 pt).
- Entre A (surface, PA = Patm, vA ≈ 0, zA) et B (sortie, PB = Patm, zB) : Patm + ρ g zA = Patm + ½ ρ vB2 + ρ g zB. Donc ½ vB2 = g (zA − zB) = g h et vB = √(2 g h) (2 pts).
- vB = √(2 × 9,8 × 1,8) = √35,3 = 5,9 m/s (0,5 pt).
- S = π × (0,010)2 ÷ 4 = 7,85 × 10−5 m2 ; Q = S vB = 7,85 × 10−5 × 5,94 = 4,7 × 10−4 m3/s, soit 0,47 L/s (1 pt).
- Chute libre depuis H avec une vitesse verticale initiale nulle : H = ½ g t2, donc t = √(2H ÷ g) = √(2 × 1,0 ÷ 9,8) = 0,45 s. Portée : d = vB × t = 5,94 × 0,452 = 2,7 m (1,5 pt).
- PA + ½ ρ vA2 + ρ g zA = PB + ½ ρ vB2 + ρ g zB (1 pt).
- Conservation du débit : SA vA = SB vB, donc SB = SA ÷ 2 puisque vB = 2 vA. Comme S est proportionnelle à d2 : dB = dA ÷ √2 = 50 ÷ 1,414 = 35 mm (1 pt).
- PB = PA − ρ g (zB − zA) + ½ ρ (vA2 − vB2) = 2,0 × 105 − 1,00 × 103 × 9,8 × 5,0 + 0,5 × 1,00 × 103 × (4,0 − 16) = 2,0 × 105 − 4,9 × 104 − 6,0 × 103 = 1,45 × 105 Pa (1,5 pt).
- Le modèle néglige la viscosité : dans une conduite réelle, les frottements internes provoquent une perte de charge, et la pression réelle en B est inférieure à celle calculée (0,5 pt).
Barème et conseils
| Exercice | Thème | Points |
|---|---|---|
| 1 | Débit dans une conduite | 5 |
| 2 | Effet Venturi | 6 |
| 3 | Vidange d’un réservoir | 5 |
| 4 | Conduite en dénivelé | 4 |
| Total | 20 |
Pour progresser : repérez d’abord les deux points de la ligne de courant, notez pour chacun la pression, la vitesse et l’altitude, puis utilisez la conservation du débit pour relier les vitesses. Pensez à convertir les diamètres en mètres avant de calculer une section.