Quand on pince l’extrémité d’un tuyau d’arrosage, le jet part plus vite et plus loin ; un avion décolle parce que l’air s’écoule plus vite au-dessus de l’aile. Ces effets, souvent contre-intuitifs, sont décrits par la loi de Bernoulli, qui relie pression, vitesse et altitude dans un fluide en écoulement. Ce cours part de la conservation du débit pour aboutir à la formule de Torricelli, avec des calculs en unités du SI.
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Décrire l’écoulement d’un fluide
Dans un écoulement, chaque petit volume de fluide possède une vitesse en chaque point. On suit son trajet par des lignes de courant : courbes tangentes en chaque point au vecteur vitesse. Un ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé forme un tube de courant.
Un écoulement est permanent si la vitesse en chaque point ne dépend pas du temps. Un fluide est incompressible si sa masse volumique reste constante (c’est le cas des liquides). Un fluide est parfait si l’on néglige sa viscosité, c’est-à-dire les frottements internes.
Le débit volumique et sa conservation
Dv = V ÷ Δt = S × v
Dv : débit volumique en m3/s (1 L/s = 10−3 m3/s) ; V : volume écoulé en m3 pendant Δt en s ; S : aire de la section en m2 ; v : vitesse moyenne en m/s.
Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, le volume qui entre dans un tube de courant par une section sort par l’autre dans le même temps : le débit est le même dans toutes les sections.
Conservation du débit : S1 v1 = S2 v2. Là où la section diminue, la vitesse augmente dans la même proportion.
Une conduite de diamètre d1 = 20 mm transporte de l’eau à v1 = 2,0 m/s, puis se rétrécit à d2 = 12 mm. Débit : Dv = π (0,010)2 × 2,0 ≈ 6,3 × 10−4 m3/s = 0,63 L/s. Vitesse dans le rétrécissement : v2 = v1 × (d1 ÷ d2)2 = 2,0 × (20 ÷ 12)2 ≈ 5,6 m/s.
La loi de Bernoulli
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement permanent, la loi de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie par unité de volume le long d’une ligne de courant.
P + ½ ρ v2 + ρ g z = constante
P : pression (Pa) ; ½ ρ v2 : pression dynamique (Pa) ; ρ g z : pression de pesanteur (Pa) ; ρ en kg/m3, v en m/s, g = 9,81 N/kg, z altitude en m (axe orienté vers le haut). La constante est la même pour tous les points d’une même ligne de courant.
Entre deux points 1 et 2 d’une même ligne de courant : P1 + ½ ρ v12 + ρ g z1 = P2 + ½ ρ v22 + ρ g z2. Chaque terme est homogène à une pression : 1 kg/m3 × (m/s)2 = 1 N/m2.
Pour un fluide au repos (v = 0 partout), la loi devient P + ρ g z = constante, c’est-à-dire PB − PA = ρ g (zA − zB) : on retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides.
L’effet Venturi
Dans une conduite horizontale (z1 = z2), la loi donne P1 − P2 = ½ ρ (v22 − v12). Si la section se rétrécit, v2 > v1 : la pression diminue dans le rétrécissement. C’est l’effet Venturi.
Reprenons l’eau de l’exemple précédent (ρ = 1,00 × 103 kg/m3) : v1 = 2,0 m/s et v2 = 5,56 m/s. P1 − P2 = ½ × 1,00 × 103 × (5,562 − 2,02) ≈ 1,3 × 104 Pa.
La formule de Torricelli
Un grand réservoir ouvert, rempli d’un liquide jusqu’à une hauteur h au-dessus d’un petit orifice, se vide en laissant sortir un jet. Appliquons la loi entre la surface libre A et l’orifice B. Pour les deux points, la pression est Patm ; la surface baisse très lentement, donc vA ≈ 0. Alors Patm + ρ g zA = Patm + ½ ρ vB2 + ρ g zB.
vB = √(2 g h)
v en m/s, g = 9,81 N/kg, h = zA − zB en m. La vitesse ne dépend pas de la masse volumique du liquide.
Orifice situé h = 1,25 m sous la surface : v = √(2 × 9,81 × 1,25) = √24,5 ≈ 4,95 m/s. Pour un orifice de section s = 1,0 cm2, le débit vaut Dv = s v = 1,0 × 10−4 × 4,95 ≈ 5,0 × 10−4 m3/s = 0,50 L/s.
Limites du modèle et applications
La loi de Bernoulli est un modèle. Elle néglige la viscosité : dans une conduite réelle, une partie de l’énergie est dissipée et la pression baisse le long du tuyau (perte de charge). Elle suppose un écoulement permanent et non turbulent. Elle s’applique le long d’une même ligne de courant, sans pompe ni turbine entre les deux points.
Applications : le tube de Pitot mesure la vitesse d’un avion par la différence entre pression totale et pression statique (½ ρ v2) ; le pulvérisateur aspire un liquide grâce à la dépression créée par l’air rapide ; la portance d’une aile vient d’une pression plus faible sur l’extrados, où l’air va plus vite ; la vidange d’un réservoir suit la formule de Torricelli.
Il ne suffit pas de dire « vitesse grande, donc pression faible » : cela suppose une même altitude et une ligne de courant commune. Ne confonds pas non plus le débit Dv (m3/s) avec la vitesse v (m/s), et pense à convertir les diamètres en rayons et en mètres avant de calculer S.
L’essentiel à retenir
- Débit volumique : Dv = S × v en m3/s ; pour un fluide incompressible, S1 v1 = S2 v2.
- Loi de Bernoulli (fluide parfait, incompressible, écoulement permanent, même ligne de courant) : P + ½ ρ v2 + ρ g z = constante.
- À altitude égale, une vitesse plus grande correspond à une pression plus faible (effet Venturi).
- Formule de Torricelli : v = √(2 g h) pour un orifice à la profondeur h d’un grand réservoir ouvert.
- Pour un fluide au repos, on retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides.
- La viscosité est négligée : les résultats sont des valeurs idéales, souvent un peu supérieures à la réalité.