Vingt exercices progressifs sur l’écoulement d’un fluide et la loi de Bernoulli : conversions de débits, conservation du débit, effet Venturi, formule de Torricelli, Pitot, portance et problèmes ouverts. Sauf indication contraire : g = 9,81 N/kg ; eau ρ = 1,00 × 103 kg/m3 ; air ρ = 1,20 kg/m3 ; Patm = 1,013 × 105 Pa. Cherche seul(e) avant de consulter le corrigé séparé.
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Les exercices sur la loi de Bernoulli
Exercice 1 : Questions de cours1. Définis le débit volumique et donne son unité SI.
2. Que traduit la conservation du débit pour un fluide incompressible ?
3. Énonce la loi de Bernoulli en précisant ses conditions d’application.
4. Dans l’expression P + ½ ρ v2 + ρ g z, quelle est l’unité de chacun des trois termes ?
5. Explique en une phrase l’effet Venturi.
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.
a. Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, le débit est le même dans toutes les sections d’un tube.
b. Dans une conduite qui se rétrécit, la vitesse du fluide diminue.
c. La loi de Bernoulli s’applique sans précaution à tout fluide, même très visqueux.
d. Dans un tube de Venturi horizontal, la pression est minimale au col.
e. Pour un fluide au repos, la loi de Bernoulli redonne la relation fondamentale de la statique des fluides.
f. La vitesse de sortie donnée par la formule de Torricelli dépend de la masse volumique du liquide.
1. Exprime en m3/s : 0,50 L/s ; 18 m3/h ; 90 L/min.
2. Exprime en L/min : 3,0 × 10−3 m3/s ; 0,25 L/s.
3. Exprime en m2 : 1,2 cm2 ; 80 mm2.
Un robinet remplit un seau de 10,0 L en 25 s. La section de sortie est S = 1,2 cm2.
1. Calcule le débit volumique en L/s puis en m3/s.
2. Calcule la vitesse moyenne de l’eau à la sortie.
3. Déduis le diamètre de la section de sortie en cm.
Une conduite de diamètre 30 mm véhicule de l’eau à la vitesse v1 = 1,5 m/s. Elle se rétrécit en un tuyau de diamètre 15 mm.
1. Calcule le débit volumique.
2. Calcule la vitesse dans la partie étroite.
3. Comment varie la vitesse quand le diamètre est divisé par deux ? Généralise.
Le cœur éjecte 5,0 L de sang par minute (débit constant supposé). L’aorte a un diamètre de 2,5 cm. L’ensemble des capillaires a une section totale cumulée d’environ 0,25 m2.
1. Convertis le débit en m3/s.
2. Calcule la vitesse moyenne du sang dans l’aorte.
3. Calcule la vitesse dans les capillaires. Quel avantage physiologique présente-t-elle ?
On mesure le débit volumique d’une conduite pour plusieurs vitesses d’écoulement.
1. Quelle est la nature de la courbe ? Quelle relation cela traduit-il ?
2. Lis le débit pour v = 1,5 m/s.
3. Calcule le coefficient directeur de la droite en L/s par m/s, puis en m2. Que représente-t-il ?
4. Déduis le diamètre de la conduite en cm.
Un réservoir ouvert contient de l’eau au repos. On applique la loi de Bernoulli entre un point A de la surface libre et un point B situé 3,0 m plus bas.
1. Que valent les vitesses en A et en B ?
2. Écris la loi de Bernoulli entre A et B.
3. Calcule la pression en B.
4. Quelle relation connue retrouves-tu ?
Un seau percé d’un petit orifice de section 0,50 cm2 contient de l’eau sur une hauteur h = 80 cm au-dessus de l’orifice. On suppose h constante.
1. Calcule la vitesse de sortie de l’eau.
2. Calcule le débit volumique.
3. Combien de temps faut-il pour recueillir 1,0 L ?
Un réservoir est percé d’un orifice situé à 0,45 m sous la surface libre et à H = 1,00 m au-dessus du sol. Le jet sort horizontalement.
1. Calcule la vitesse de sortie de l’eau.
2. Calcule la durée de chute du jet jusqu’au sol (chute libre sans vitesse initiale verticale).
3. Déduis la portée x. Vérifie qu’elle vaut aussi 2 √(h H).
4. À quelle hauteur h faudrait-il percer pour doubler la portée, H restant fixe ?
Un tube de Venturi horizontal a un diamètre d1 = 40 mm dans la partie large et d2 = 20 mm au col. L’eau y circule à la vitesse v1 = 1,0 m/s dans la partie large.
1. Calcule le débit volumique en L/s.
2. Calcule la vitesse v2 au col.
3. Calcule la différence de pression P1 − P2.
4. Quelle hauteur de colonne d’eau cette différence représente-t-elle ?
Un capteur mesure la pression le long du tube de Venturi de l’exercice précédent (v1 = 1,0 m/s dans la partie large, rapport des diamètres 2).
1. Lis les pressions P1, P2 et P3, en pascals.
2. Déduis-en la vitesse v2 au col grâce à la loi de Bernoulli.
3. Compare à la valeur donnée par la conservation du débit.
4. Pourquoi P3 est-elle légèrement inférieure à P1 ?
Un tube de Pitot mesure une différence entre la pression totale et la pression statique de 2,16 × 103 Pa. À cette altitude, la masse volumique de l’air vaut 1,20 kg/m3.
1. Explique pourquoi cette différence vaut ½ ρ v2, la vitesse de l’air étant nulle au point d’arrêt.
2. Calcule la vitesse de l’avion en m/s puis en km/h.
3. Quelle serait la vitesse déduite si la masse volumique de l’air était 1,00 kg/m3 pour la même différence de pression ?
Le niveau d’eau d’un château d’eau est 30 m au-dessus d’un robinet situé dans une maison. Le château d’eau est ouvert à l’air libre.
1. Calcule la pression de l’eau au robinet fermé, relative puis absolue.
2. Calcule la vitesse de l’eau à la sortie du robinet ouvert, dans le modèle de Bernoulli sans frottement.
3. Pourquoi la vitesse réelle est-elle nettement plus faible ?
Dans un pulvérisateur, de l’air passe très vite au-dessus de l’extrémité d’un tube plongé dans un liquide de masse volumique 1,00 × 103 kg/m3. L’air a une vitesse de 15 m/s au-dessus du tube ; l’air loin du tube est au repos à la pression atmosphérique.
1. Calcule la différence de pression ½ ρair v2 entre l’air au repos et l’air rapide.
2. De quelle hauteur le liquide monte-t-il dans le tube ?
3. Que se passe-t-il si la vitesse de l’air double ?
Sur un petit avion, l’air passe à 80 m/s au-dessus de l’aile et à 70 m/s en dessous. La surface portante est de 16 m2. On suppose les points à altitude presque égale.
1. Calcule la différence de pression entre le dessous et le dessus.
2. Calcule la force verticale résultante sur l’aile.
3. Quelle masse cette force peut-elle soutenir ?
4. Quelle limite ce modèle simple présente-t-il ?
Une conduite d’eau passe d’un diamètre de 10 cm à 5,0 cm tout en montant de 4,0 m. En bas (point 1) : P1 = 3,00 × 105 Pa et v1 = 2,0 m/s.
1. Calcule le débit volumique en L/s.
2. Calcule la vitesse v2 au point 2.
3. Écris la loi de Bernoulli et calcule la pression P2.
4. Quelle part de la baisse de pression vient de la montée ? Quelle part vient de la vitesse ?
Un réservoir cylindrique de section SR = 1,0 m2 est percé d’un orifice de section s = 1,0 cm2, situé 1,00 m sous la surface libre.
1. Calcule la vitesse de sortie en utilisant l’approximation vA ≈ 0.
2. Calcule le débit puis la vitesse de descente du niveau dans le réservoir.
3. Compare cette vitesse de descente à la vitesse de sortie : l’approximation est-elle justifiée ?
4. Estime la durée nécessaire pour que le niveau baisse de 1,0 cm (on prend h constant).
Un élève perce un orifice de section 1,0 cm2 à 1,00 m sous la surface d’un grand réservoir maintenu plein. En 60 s, il recueille 21,0 L d’eau.
1. Calcule le débit théorique prévu par la formule de Torricelli, puis le volume attendu en 60 s.
2. Calcule le rapport entre le volume mesuré et le volume attendu.
3. Propose deux raisons physiques expliquant cet écart.
4. Comment réduire cet écart expérimentalement ?
Un tuyau d’arrosage de diamètre intérieur 16 mm, relié à une buse de diamètre 4,0 mm, débite 0,25 L/s. On néglige les frottements.
1. Calcule la vitesse de l’eau dans le tuyau puis à la sortie de la buse.
2. Calcule la pression relative (P − Patm) dans le tuyau, juste avant la buse.
3. Le jet est dirigé verticalement vers le haut : quelle hauteur maximale atteint-il (formule de Torricelli inversée) ?
4. Discute de façon critique ce résultat : que se passe-t-il réellement ?
