Un cargo de douze mille tonnes flotte, une pièce de monnaie coule, et en plongée les oreilles font mal dès quelques mètres. Ces trois faits ont la même origine : un fluide au repos exerce des forces sur tout ce qui le touche. Ce cours construit pas à pas la pression, la relation fondamentale de la statique des fluides, puis la poussée d’Archimède, avec des calculs rigoureux en unités du SI.
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La pression dans un fluide
Un fluide est un milieu qui s’écoule et épouse la forme de son contenant : un liquide ou un gaz. Au niveau microscopique, ses entités (molécules, atomes) sont en agitation permanente et heurtent sans cesse les parois. La somme de ces chocs se traduit, à notre échelle, par une force pressante qui s’exerce sur chaque élément de surface.
La pression P exercée par un fluide sur une surface S est le quotient de la valeur F de la force pressante par l’aire S de la surface : P = F ÷ S. Elle s’exprime en pascals (Pa) : 1 Pa = 1 N/m2. On utilise aussi l’hectopascal (1 hPa = 102 Pa) et le bar (1 bar = 105 Pa).
L’atmosphère exerce en moyenne Patm = 1,013 × 105 Pa. Sur une vitre de 0,50 m2, la force pressante vaut F = P × S = 1,013 × 105 × 0,50 ≈ 5,1 × 104 N, soit le poids d’une masse d’environ 5 tonnes. La vitre ne casse pas car l’air exerce la même force de l’autre côté.
La relation fondamentale de la statique des fluides
Dans un liquide au repos, la pression augmente avec la profondeur : chaque couche supporte le poids de celles qui sont au-dessus. En plongée, on le ressent à peine à 1 m mais nettement à 10 m.
PB − PA = ρ × g × (zA − zB)
P en pascals (Pa), ρ masse volumique du fluide en kg/m3, g = 9,81 N/kg, altitudes z en mètres sur un axe orienté vers le haut. Valable pour un fluide incompressible (liquide) au repos, entre deux points reliés par le même fluide.
Conséquence : tous les points d’un même fluide situés à la même altitude ont la même pression. Pour un gaz comme l’air, la masse volumique est faible (1,20 kg/m3) : sur quelques mètres, la variation de pression est négligeable.
Un plongeur est à 10,0 m de profondeur dans un lac (ρ = 1,00 × 103 kg/m3). La surface est à la pression Patm = 1,013 × 105 Pa. Alors P − Patm = 1,00 × 103 × 9,81 × 10,0 = 9,81 × 104 Pa, donc P ≈ 1,99 × 105 Pa ≈ 2,0 bar : la pression double en 10 m d’eau.
La poussée d’Archimède
Tout corps plongé dans un fluide au repos subit, de la part de ce fluide, une force verticale dirigée vers le haut : c’est ce qui allège un objet dans l’eau. Elle provient de la différence de pression entre le bas et le haut de l’objet.
Théorème d’Archimède. Tout corps plongé, totalement ou partiellement, dans un fluide au repos subit une force verticale, dirigée vers le haut, appelée poussée d’Archimède. Sa valeur est égale au poids du fluide déplacé ; elle s’applique au centre de gravité du volume de fluide déplacé.
Π = ρfluide × Vimmergé × g
Π en newtons (N), ρfluide en kg/m3, Vimmergé en m3, g = 9,81 N/kg.
Démonstration pour un cube. Soit un cube d’arête a, face supérieure à la profondeur z1 (sous la surface) et face inférieure à z1 + a. Les forces pressantes latérales se compensent deux à deux. Reste F2 − F1 = (P2 − P1) × a2 = ρ g a × a2 = ρ g a3 = ρ g V. On retrouve bien le poids du fluide déplacé.
Un bloc d’aluminium de volume V = 2,0 dm3 = 2,0 × 10−3 m3 (ρ = 2,70 × 103 kg/m3) est entièrement plongé dans l’eau. Poussée : Π = 1,00 × 103 × 2,0 × 10−3 × 9,81 ≈ 19,6 N. Masse du bloc : m = ρ V = 5,4 kg, poids P = 5,4 × 9,81 ≈ 53 N. Un dynamomètre indiquerait un poids apparent Papp = P − Π ≈ 33 N.
Flottaison et masse volumique
Un objet plongé est soumis à deux forces verticales : son poids P (vers le bas, appliqué au centre de gravité de l’objet) et la poussée Π (vers le haut). Comparer leurs valeurs revient à comparer les masses volumiques.
| Matériau | Masse volumique ρ (kg/m3) |
|---|---|
| Air (20 °C) | 1,20 |
| Bois de chêne | ≈ 7,5 × 102 |
| Glace | 9,17 × 102 |
| Eau douce | 1,00 × 103 |
| Eau de mer | 1,03 × 103 |
| Aluminium | 2,70 × 103 |
| Fer | 7,87 × 103 |
Un objet flotte à l’équilibre si ρobjet < ρfluide. À l’équilibre, poids et poussée sont égaux : ρobjet V g = ρfluide Vimm g, d’où la fraction immergée Vimm ÷ V = ρobjet ÷ ρfluide.
Un glaçon (ρ = 917 kg/m3) flotte dans l’eau douce : fraction immergée = 917 ÷ 1 000 = 0,917, soit 91,7 %. Dans l’eau de mer : 917 ÷ 1 030 ≈ 0,890, soit 89,0 % ; il émerge donc un peu plus.
Applications et erreurs fréquentes
Un sous-marin règle sa flottabilité en remplissant ou en vidant des ballasts : il modifie son poids sans changer son volume. Un ballon à air chaud s’élève parce que l’air chaud qu’il contient est moins dense que l’air extérieur : la poussée de l’air dépasse le poids total. Un iceberg n’émerge que d’environ 10 % de son volume. L’aéromètre (densimètre) mesure la masse volumique d’un liquide d’après son enfoncement.
La poussée d’Archimède ne dépend pas de la masse ni de la masse volumique de l’objet, mais de la masse volumique du fluide et du volume immergé. Autre piège : un objet lourd peut flotter (un bateau) si son volume est assez grand, c’est la masse volumique moyenne qui compte. Enfin, ne confonds pas la pression (en Pa) et la force pressante (en N).
L’essentiel à retenir
- Pression : P = F ÷ S, en pascals ; 1 bar = 105 Pa ; la force pressante est perpendiculaire à la surface.
- Fluide incompressible au repos : PB − PA = ρ g (zA − zB) ; même altitude, même pression.
- Poussée d’Archimède : verticale, vers le haut, Π = ρfluide Vimmergé g, égale au poids du fluide déplacé.
- Poids apparent : Papp = P − Π.
- Flottaison : ρobjet < ρfluide ; fraction immergée = ρobjet ÷ ρfluide.
- Toujours convertir les volumes en m3 et les masses volumiques en kg/m3.