Le flash d’un appareil photo met quelques secondes à se « recharger », puis libère toute son énergie en un éclair. Derrière ce comportement se cache un composant : le condensateur. Associé à une résistance, il forme le circuit RC, dont la tension évolue selon une exponentielle caractérisée par une durée précise, la constante de temps τ. Ce chapitre explique comment la prévoir, la mesurer et l’utiliser.
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Le circuit RC : un condensateur et une résistance en série
Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Lorsqu’un courant l’alimente, une armature se charge positivement (charge +q) et l’autre négativement (charge −q) : on dit qu’il se charge. Sa grandeur caractéristique est la capacité C, exprimée en farads (F) ; on utilise surtout le microfarad (1 µF = 10−6 F).
q = C × uC et i = dq ÷ dt = C × duC ÷ dt
q en coulombs (C), uC en volts (V), C en farads (F), i en ampères (A), avec i et uC fléchés en sens contraires (convention récepteur).
La charge du condensateur
À t = 0, on ferme l’interrupteur ; le condensateur est initialement déchargé (uC(0) = 0). La loi des mailles donne E = uR + uC. Avec uR = R × i et i = C × duC ÷ dt, on obtient l’équation différentielle du premier ordre :
R × C × duC ÷ dt + uC = E
La solution avec uC(0) = 0 est uC(t) = E × (1 − e−t÷τ) avec τ = R × C. Le courant vaut alors i(t) = (E ÷ R) × e−t÷τ : il est maximal à t = 0 (i = E ÷ R) puis décroît vers zéro. La tension uC tend vers E.
On prend E = 6,0 V, R = 10 kΩ et C = 100 µF. Alors τ = R × C = 10 × 103 × 100 × 10−6 = 1,0 s. À t = τ : uC = 6,0 × (1 − e−1) ≈ 3,8 V. À t = 5τ = 5,0 s : uC = 6,0 × (1 − e−5) ≈ 5,96 V, soit 99 % de E. Le courant initial est i(0) = E ÷ R = 0,60 mA.
La décharge du condensateur
Le condensateur chargé (uC(0) = E) est ensuite relié à la seule résistance. La loi des mailles s’écrit alors uR + uC = 0, soit R × C × duC ÷ dt + uC = 0. La solution est uC(t) = E × e−t÷τ, avec le même τ = R × C.
Avec E = 6,0 V et τ = 1,0 s, la tension à t = 2,0 s vaut uC = 6,0 × e−2 ≈ 0,81 V. Elle est passée sous 1 % de E après 5τ. On peut aussi calculer la durée pour atteindre une tension donnée : t = −τ × ln(uC ÷ E).
La constante de temps τ
τ = R × C se mesure en secondes : un ohm multiplié par un farad donne une seconde. Plus R ou C est grand, plus τ est grand et plus la charge ou la décharge est lente. Pour la déterminer expérimentalement, on dispose de trois méthodes :
- lire la durée pour laquelle uC atteint 63 % de E à la charge, ou 37 % de E à la décharge ;
- tracer la tangente à l’origine et chercher son intersection avec l’asymptote (charge) ou l’axe du temps (décharge) ;
- en décharge, tracer ln(uC) en fonction de t : on obtient une droite de coefficient directeur −1 ÷ τ.
Après 5τ, le régime transitoire est terminé à 99 % près : la tension aux bornes du condensateur est devenue, selon le cas, égale à E ou nulle.
Énergie stockée et continuité de la tension
Un condensateur chargé stocke de l’énergie électrique :
EC = ½ × C × uC2
EC en joules (J), C en farads (F), uC en volts (V).
Pour C = 100 µF et uC = 6,0 V, EC = ½ × 100 × 10−6 × 6,02 = 1,8 × 10−3 J. Cette énergie ne peut pas changer instantanément (il faudrait une puissance infinie), donc la tension uC est une fonction continue du temps. À l’inverse, l’intensité i peut présenter une discontinuité : c’est ce qui se passe à la fermeture de l’interrupteur.
Ne pas confondre τ = R × C, durée caractéristique, avec la durée totale de charge (environ 5τ). Autre piège : en régime permanent, le courant est nul et le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ; uR = 0 et uC = E.
L’essentiel à retenir
- q = C × uC et i = C × duC ÷ dt ; la capacité se mesure en farads.
- Charge : R C duC ÷ dt + uC = E, d’où uC = E × (1 − e−t÷τ) ; décharge : uC = E × e−t÷τ.
- La constante de temps τ = R × C s’exprime en secondes ; elle vaut 63 % de la montée (ou de la chute) de la tension.
- Le régime permanent est atteint après environ 5τ.
- EC = ½ C uC2 ; uC est continue, i ne l’est pas forcément.