Un pneu qui chauffe pendant un long trajet gonfle légèrement, une bouteille de plongée contient l’air de plusieurs mètres cubes dans quelques litres : ces comportements se décrivent avec un modèle simple, le gaz parfait. Il relie la pression, le volume, la température et la quantité de matière d’un gaz, et donne un sens microscopique à la température.
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Le modèle du gaz parfait : description microscopique
Un gaz est formé de particules (atomes ou molécules) très espacées, en mouvement permanent et désordonné : c’est l’agitation thermique. Les particules se déplacent en ligne droite entre deux chocs avec les autres particules ou avec les parois du récipient.
Le modèle du gaz parfait décrit un gaz dont les particules sont assimilées à des points, sans interaction entre elles en dehors des chocs. Ce modèle est d’autant plus valable que le gaz est dilué (pression faible) et que sa température est éloignée de celle de la liquéfaction.
La pression traduit l’effet des chocs des particules sur une paroi : à chaque choc, la paroi reçoit une petite force ; la somme de ces forces, répartie sur la surface, donne la force pressante.
Les grandeurs qui décrivent un gaz
Quatre grandeurs décrivent l’état d’un gaz : la pression P en pascals (Pa), le volume V en mètres cubes (m³), la température absolue T en kelvins (K) et la quantité de matière n en moles (mol).
- 1 bar = 105 Pa ; 1 hPa = 100 Pa ; la pression atmosphérique normale vaut environ 1,013 × 105 Pa.
- 1 L = 10−3 m³ ; 1 mL = 10−6 m³.
- T (K) = θ (°C) + 273,15 ; le zéro absolu, T = 0 K, correspond à −273,15 °C.
- n = N ÷ NA, avec NA = 6,022 × 1023 mol−1 la constante d’Avogadro.
Dans toutes les lois des gaz, la température doit être en kelvins, la pression en pascals et le volume en m³ lorsqu’on utilise R = 8,314 J·mol−1·K−1. Un rapport de deux pressions ou de deux volumes peut se faire dans n’importe quelle unité commune, mais pas un rapport de températures en °C.
Les lois de Boyle-Mariotte et de Gay-Lussac
À température et quantité de matière constantes, le produit de la pression par le volume est constant : c’est la loi de Boyle-Mariotte. À volume et quantité de matière constants, la pression est proportionnelle à la température absolue : c’est la loi de Gay-Lussac.
Boyle-Mariotte : P1 V1 = P2 V2 (T et n constants). Gay-Lussac : P1 ÷ T1 = P2 ÷ T2 (V et n constants), avec T en kelvins.
Boyle-Mariotte. Un gaz occupe 2,0 L sous 1,0 bar. Comprimé lentement à 0,50 L, à température constante : P2 = P1 V1 ÷ V2 = 1,0 × 2,0 ÷ 0,50 = 4,0 bar. Gay-Lussac. Un pneu gonflé à 2,2 bar (pression absolue) à 20 °C (293 K) est chauffé à 50 °C (323 K), volume supposé constant : P2 = 2,2 × 323 ÷ 293 ≈ 2,4 bar.
La loi de Gay-Lussac permet de définir le zéro absolu. Si l’on trace la pression d’un gaz à volume constant en fonction de la température en °C, on obtient une droite qui, prolongée, coupe l’axe des abscisses vers −273 °C : à cette température la pression s’annulerait (plus de chocs, plus d’agitation).
L’équation d’état du gaz parfait
Les deux lois précédentes, et le fait que P est aussi proportionnelle à n, se résument en une seule équation, qui relie les quatre grandeurs d’état.
P × V = n × R × T
P en Pa, V en m³, n en mol, T en K, R = 8,314 J·mol−1·K−1 (constante des gaz parfaits). On a aussi R = NA × kB avec kB = 1,381 × 10−23 J·K−1.
Une bouteille de plongée de volume 12,0 L contient de l’air à 200 bar et 20 °C. n = PV ÷ (RT) = 2,00 × 107 × 1,20 × 10−2 ÷ (8,314 × 293) = 2,40 × 105 ÷ 2 436 = 98,5 mol. Le volume molaire à 20 °C et 1,013 bar est Vm = RT ÷ P = 8,314 × 293 ÷ 1,013 × 105 = 2,40 × 10−2 m³·mol−1, soit 24,0 L·mol−1. À 0 °C (273,15 K), on trouve 22,4 L·mol−1.
On en déduit la masse volumique d’un gaz de masse molaire M : ρ = m ÷ V = n M ÷ V = P M ÷ (R T). Pour l’air (M = 29 g·mol−1) à 20 °C et 1,013 × 105 Pa : ρ = 1,013 × 105 × 0,029 ÷ (8,314 × 293) ≈ 1,21 kg·m−3. L’air chaud est moins dense que l’air froid : c’est le principe de la montgolfière.
Le sens microscopique de la température
Pour un gaz parfait monoatomique, l’énergie cinétique de translation moyenne d’une particule est proportionnelle à la température : Ec = (3/2) kB T. La vitesse quadratique moyenne d’une particule de masse m se déduit de ½ m v² = (3/2) kB T, ce qui donne, avec la masse molaire M :
v = √(3 R T ÷ M)
v en m·s−1, M en kg·mol−1, T en K. L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de T : pour n moles d’un gaz monoatomique, U = (3/2) n R T, donc ΔU = (3/2) n R ΔT.
Pour le diazote (M = 28,0 × 10−3 kg·mol−1) à 293 K : v = √(3 × 8,314 × 293 ÷ 0,0280) = √(2,61 × 105) ≈ 5,1 × 102 m·s−1, soit environ 1 840 km·h−1. Pour l’hélium (M = 4,00 × 10−3 kg·mol−1) à la même température : v ≈ 1,35 × 103 m·s−1 : à même température, la particule la plus légère est la plus rapide. L’énergie cinétique moyenne est la même : (3/2) × 1,381 × 10−23 × 293 ≈ 6,07 × 10−21 J.
Les limites du modèle
Le modèle du gaz parfait néglige le volume propre des particules et leurs interactions. À haute pression, les particules sont proches : leur volume n’est plus négligeable et les forces d’attraction ou de répulsion se font sentir. À basse température, proche de la liquéfaction, les interactions deviennent importantes. Dans ces cas, on parle de gaz réel et les écarts à PV = nRT peuvent atteindre plusieurs pour cent. Dans les conditions usuelles (pression proche de 1 bar, température ambiante), le modèle est très satisfaisant.
L’essentiel à retenir
- Gaz parfait : particules ponctuelles, sans interaction hors chocs ; la pression vient des chocs sur les parois : P = F ÷ S.
- Unités : P en Pa, V en m³, T en K (T = θ + 273,15), n en mol ; NA = 6,022 × 1023 mol−1.
- Boyle-Mariotte : PV constant (T, n constants) ; Gay-Lussac : P ÷ T constant (V, n constants).
- Équation d’état : PV = nRT, R = 8,314 J·mol−1·K−1 ; Vm ≈ 24 L·mol−1 à 20 °C sous 1,013 bar.
- Masse volumique : ρ = PM ÷ (RT).
- Ec = (3/2) kB T ; v = √(3RT ÷ M) ; U = (3/2) nRT pour un gaz monoatomique.
- Le modèle est valable à pression faible et loin de la liquéfaction ; au-delà, on parle de gaz réel.