Quand Galilée a pointé vers le ciel un tube muni de deux lentilles, il a vu des montagnes sur la Lune et des satellites autour de Jupiter. La lunette astronomique ne fait pas voir les astres plus gros qu’ils ne sont : elle change l’angle sous lequel on les observe. Voyons comment deux lentilles minces suffisent à construire ce modèle optique, et comment on calcule son grossissement.
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Le diamètre apparent d’un astre : un angle
Un astre est si lointain que ses rayons arrivent parallèles entre eux. On caractérise sa taille apparente par l’angle α sous lequel on le voit, appelé diamètre apparent. Cet angle est petit : on peut écrire α ≈ tan α ≈ h ÷ d, où h est la taille réelle de l’objet et d sa distance, avec α exprimé en radians (rad). Pour convertir : α (en rad) = α (en °) × π ÷ 180.
La Lune a un diamètre h = 3 474 km et se trouve à d = 3,844 × 105 km. Son diamètre apparent vaut α = 3 474 ÷ 3,844 × 105 = 9,04 × 10−3 rad, soit α ≈ 0,52°. L’œil sépare deux points voisins s’ils sont vus sous un angle d’environ 1′ (une minute d’arc, soit 2,9 × 10−4 rad) : la lunette sert à agrandir cet angle.
Une lunette astronomique modélisée par deux lentilles
Le modèle optique de la lunette astronomique (ou lunette afocale) comprend deux lentilles minces convergentes de même axe optique :
- l’objectif L1, de grande distance focale f1′ : il donne de l’astre une image dans son plan focal image ;
- l’oculaire L2, de petite distance focale f2′ : il joue le rôle de loupe pour observer cette image.
Une lunette est dite afocale lorsque le foyer image F1′ de l’objectif et le foyer objet F2 de l’oculaire sont confondus. Un objet à l’infini donne alors une image finale à l’infini : l’œil observe sans accommoder. Sa longueur est L = f1′ + f2′.
La distance focale f′ d’une lentille est liée à sa vergence C par C = 1 ÷ f′ ; C s’exprime en dioptries (δ) quand f′ est en mètres.
Construction de l’image et grossissement
Un point B de l’astre, à l’infini, envoie un faisceau parallèle incliné de l’angle α sur l’axe. L’objectif en donne une image intermédiaire B1 dans son plan focal image. Ce point B1 est aussi dans le plan focal objet de l’oculaire : le faisceau émerge donc parallèle, incliné de l’angle α′ sur l’axe.
Dans le triangle formé par A1B1 et le centre optique O1 de l’objectif, tan α = A1B1 ÷ f1′. Dans le triangle formé par A1B1 et le centre optique O2 de l’oculaire, tan α′ = A1B1 ÷ f2′. Pour de petits angles, tan α ≈ α et tan α′ ≈ α′ : on obtient le grossissement.
G = α′ ÷ α = f1′ ÷ f2′
G : grossissement, sans unité ; α et α′ en radians (ou dans la même unité d’angle) ; f1′ et f2′ dans la même unité de longueur. Taille de l’image intermédiaire : A1B1 = f1′ × tan α ≈ f1′ × α.
Lunette avec f1′ = 800 mm et f2′ = 20 mm, pointée vers la Lune (α = 0,52° = 9,1 × 10−3 rad). Grossissement : G = 800 ÷ 20 = 40. Longueur : L = 800 + 20 = 820 mm. Image intermédiaire : A1B1 = 800 × 9,1 × 10−3 ≈ 7,3 mm. Angle d’observation : α′ = 40 × 0,52° ≈ 21°.
Le grossissement G n’est pas un rapport de tailles : c’est un rapport d’angles. L’image finale est renversée (l’image intermédiaire l’est déjà) et à l’infini, on ne peut pas la mesurer sur un écran.
Le cercle oculaire : où placer l’œil
Tous les rayons qui traversent l’objectif ressortent de l’oculaire en passant par une petite zone circulaire : l’image de l’objectif donnée par l’oculaire. C’est le cercle oculaire. Pour recevoir toute la lumière collectée, la pupille de l’œil doit s’y placer, et son diamètre doit être au moins égal à celui du cercle.
Cette relation découle du grandissement de l’oculaire, qui forme l’image de l’objectif : γ = − f2′ ÷ f1′ (valeur absolue : 1 ÷ G). Pour que tout le flux utile entre dans l’œil, D′ doit rester inférieur au diamètre de la pupille (de 2 mm le jour à environ 7 mm la nuit).
Objectif de diamètre D1 = 80 mm, G = 40 : D′ = 80 ÷ 40 = 2,0 mm. La lunette collecte (80 ÷ 7)2 ≈ 130 fois plus de lumière qu’une pupille nocturne de 7 mm : les astres faibles deviennent visibles.
Mise au point et limites du modèle
Pour observer un objet proche (un bâtiment, un oiseau), l’image intermédiaire se forme un peu au-delà du plan focal de l’objectif ; on déplace légèrement l’oculaire pour régler la mise au point. Le grossissement est limité en pratique : un G trop grand donne un cercle oculaire minuscule, une image sombre, et la turbulence de l’atmosphère se voit davantage. Une règle empirique donne un grossissement utile maximal voisin de 2 × D1 (D1 en millimètres). Une lunette réelle comporte des lentilles composées pour limiter les défauts de couleur.
L’essentiel à retenir
- Un astre est vu sous un angle α ≈ h ÷ d (en rad) ; ses rayons arrivent parallèles.
- Lunette afocale : F₁′ = F₂, longueur L = f₁′ + f₂′ ; objet et image à l’infini, œil au repos.
- L’image intermédiaire A₁B₁ est dans le plan focal image de l’objectif : A₁B₁ = f₁′ × tan α.
- Grossissement : G = α′ ÷ α = f₁′ ÷ f₂′ (rapport d’angles, sans unité).
- Cercle oculaire : image de l’objectif par l’oculaire, de diamètre D′ = D₁ ÷ G.
- L’image finale est renversée ; on règle la mise au point en déplaçant l’oculaire.