Ce contrôle de 1 h 30 porte sur le circuit RC : charge et décharge d’un condensateur, constante de temps, intensité et énergie stockée. La calculatrice est autorisée. Le barème est sur 20 points ; les unités, les chiffres significatifs et les justifications sont pris en compte. Rappels : un condensateur de capacité C portant la tension uC stocke la charge q = C uC et l’énergie EC = ½ C uC2 ; l’intensité du courant vaut i = dq/dt ; e−1 ≈ 0,368.
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Le sujet du contrôle sur le circuit RC
Exercice 1 : Charge d’un condensateur (5 points)Un condensateur de capacité C = 47 µF, initialement déchargé, est relié par un interrupteur K à un conducteur ohmique de résistance R = 10 kΩ et à un générateur de tension continue E = 6,0 V. On ferme K à l’instant t = 0. On étudie la tension uC(t) aux bornes du condensateur, mesurée par un voltmètre.
1. Établis l’équation différentielle vérifiée par uC(t) pendant la charge.
2. Vérifie que uC(t) = E (1 − e−t/τ) en est solution avec τ = RC.
3. Calcule la constante de temps τ.
4. Calcule la tension aux bornes du condensateur à l’instant t = τ.
5. On considère la charge terminée au bout de 5τ. Calcule cette durée et la tension atteinte à cet instant.
Un condensateur chargé sous E = 5,0 V est déchargé à travers un conducteur ohmique de résistance R = 100 kΩ. L’enregistrement de uC(t) est donné ci-dessous ; il est modélisé par uC(t) = E e−t/τ.
1. Détermine graphiquement la constante de temps τ en expliquant la méthode (tension à repérer, lecture sur l’axe du temps).
2. En déduire la capacité C du condensateur, en µF.
3. Calcule l’énergie stockée dans le condensateur à t = 0.
4. Au bout de quelle durée la tension est-elle devenue égale à 1 % de sa valeur initiale ? Exprime d’abord t en fonction de τ.
Dans un flash, un condensateur de capacité C = 1,0 × 103 µF est chargé sous la tension U = 300 V, puis se décharge à travers la lampe, assimilée à un conducteur ohmique de résistance R = 0,50 Ω.
1. Calcule la charge électrique portée par le condensateur chargé.
2. Calcule l’énergie stockée.
3. Calcule la constante de temps de la décharge.
4. On admet que l’énergie est libérée en une durée voisine de 5τ. Calcule cette durée, puis la puissance moyenne de l’éclair.
On reprend le circuit de charge de l’exercice 1 (E = 6,0 V ; R = 10 kΩ ; C = 47 µF ; τ = RC), avec uC(t) = E (1 − e−t/τ).
1. Établis l’expression de l’intensité i(t) du courant de charge, en dérivant la charge q = C uC.
2. Calcule l’intensité i(0) juste après la fermeture de l’interrupteur.
3. Calcule i(τ) en milliampère, puis vérifie la valeur obtenue avec la loi des mailles et la loi d’Ohm.
1. Montre, par une analyse dimensionnelle, que le produit RC s’exprime en seconde (on rappelle u = R i et i = C du/dt).
2. Dans le circuit de l’exercice 1, on double la valeur de R sans changer E ni C. Comment évoluent la durée de la charge et la tension finale du condensateur ? Justifie.
