Un ballon de basket qui retombe dans le panier et un électron dévié entre deux plaques métalliques suivent la même logique : une force constante agit sur un objet qui avance, et sa trajectoire se courbe en parabole. Ce chapitre montre comment un mouvement dans un champ uniforme se prévoit entièrement à partir de la deuxième loi de Newton, pour un champ de pesanteur comme pour un champ électrique.
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Étudier un mouvement dans un champ uniforme
On modélise l’objet par un point matériel M de masse m, repéré dans un référentiel que l’on suppose galiléen (le référentiel terrestre, pour des durées courtes), muni d’un repère (O ; x, y). Un champ est dit uniforme dans une région lorsque le vecteur champ a, en tout point, la même direction, le même sens et la même valeur.
Deuxième loi de Newton (les lettres en gras sont des vecteurs) : dans un référentiel galiléen, ΣF = ma, avec a = dv/dt et v = dOM/dt. L’accélération a le sens de la force résultante ; ΣF en N, m en kg, a en m/s2.
(1) Définir le système, le référentiel et le repère. (2) Faire le bilan des forces. (3) Appliquer la deuxième loi et projeter sur les axes pour obtenir les composantes de a. (4) Intégrer une première fois pour la vitesse, une seconde fois pour la position, en utilisant les conditions initiales (position et vitesse à t = 0).
Le champ de pesanteur uniforme : la chute libre
Près de la surface de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme : g est vertical, dirigé vers le bas, de valeur g = 9,81 N/kg (soit 9,81 m/s2). Un objet est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids P = mg. La deuxième loi donne alors ma = mg, donc a = g : l’accélération ne dépend pas de la masse.
On choisit l’axe Oy vertical vers le haut, l’axe Ox horizontal, l’origine O au point de lancer et un vecteur vitesse initiale v0 faisant l’angle α avec l’horizontale. Les composantes initiales sont v0x = v0 cos α et v0y = v0 sin α.
ax = 0 ; ay = −g
vx = v0 cos α ; vy = −g t + v0 sin α
x = v0 cos α × t ; y = −½ g t2 + v0 sin α × t
Longueurs en m, durée en s, vitesses en m/s, g en m/s2. Si le lancer part de la hauteur y0, on ajoute y0 à l’expression de y.
Trajectoire parabolique, flèche et portée
En éliminant le temps entre x(t) et y(t), on obtient l’équation de la trajectoire : y = −g x2 ÷ (2 v02 cos2 α) + x tan α. C’est une parabole. Le sommet S est atteint quand vy = 0, c’est-à-dire à l’instant tS = v0 sin α ÷ g ; le projectile retombe à la hauteur de départ à l’instant 2 tS.
flèche h = v02 sin2 α ÷ (2g) ; portée R = v02 sin 2α ÷ g
Valables si le lancer et l’arrivée se font à la même hauteur. À v0 fixée, la portée est maximale pour α = 45° ; deux angles complémentaires (α et 90° − α) donnent la même portée.
Une balle est lancée à v0 = 12 m/s sous α = 40° depuis le sol (g = 9,81 m/s2). Portée : R = 122 × sin 80° ÷ 9,81 = 144 × 0,985 ÷ 9,81 = 14,5 m. Flèche : h = 122 × sin2 40° ÷ (2 × 9,81) = 144 × 0,413 ÷ 19,62 = 3,03 m. Durée du vol : 2 v0 sin α ÷ g = 2 × 12 × 0,643 ÷ 9,81 = 1,57 s.
Le champ électrique uniforme
Entre deux plaques métalliques planes, parallèles, distantes de d et soumises à une tension U, règne un champ électrique uniforme, perpendiculaire aux plaques et dirigé de la plaque positive vers la plaque négative. Une particule de charge q y subit la force électrique F = qE : même sens que E si q > 0, sens opposé si q < 0.
E = U ÷ d ; F = |q| × E
E en V/m (ou N/C), U en V, d en m, F en N, q en C. Pour un électron : q = −e = −1,60 × 10−19 C et m = 9,11 × 10−31 kg.
Pour un électron dans un champ E = 1,0 × 104 V/m, F = 1,60 × 10−19 × 1,0 × 104 = 1,6 × 10−15 N, tandis que son poids vaut P = 9,11 × 10−31 × 9,81 = 8,9 × 10−30 N. Le rapport F ÷ P ≈ 2 × 1014 : le poids est négligeable devant la force électrique. Avec cette seule force constante, la deuxième loi donne une accélération uniforme a = qE ÷ m, de direction perpendiculaire aux plaques : le calcul est le même que pour le champ de pesanteur, avec a à la place de g.
Plaques de longueur L = 5,0 cm distantes de d = 2,0 cm, tension U = 200 V : E = 200 ÷ 0,020 = 1,0 × 104 V/m. Un électron entre à v0 = 2,0 × 107 m/s parallèlement aux plaques. Accélération : a = eE ÷ m = 1,60 × 10−19 × 1,0 × 104 ÷ 9,11 × 10−31 = 1,76 × 1015 m/s2. Durée dans le champ : t = L ÷ v0 = 0,050 ÷ 2,0 × 107 = 2,5 × 10−9 s. Déviation à la sortie : yS = ½ a t2 = ½ × 1,76 × 1015 × (2,5 × 10−9)2 = 5,5 mm, inférieure à d ÷ 2 = 10 mm : l’électron sort du condensateur. Sa composante verticale vaut vy = a t = 4,4 × 106 m/s, d’où tan θ = vy ÷ v0 = 0,22 et θ ≈ 12°.
Accélérer une particule dans un champ électrique
Une particule de charge q abandonnée sans vitesse initiale dans un champ uniforme, puis déplacée d’une plaque à l’autre sous une tension U, gagne l’énergie cinétique Ec = |q| U, soit v = √(2|q|U ÷ m). Un proton accéléré sous 1 000 V acquiert ainsi 1,60 × 10−16 J.
Croire qu’au sommet d’une parabole la vitesse est nulle : seule la composante verticale s’annule, la vitesse vaut vx = v0 cos α. Autre erreur : oublier que la force sur un électron est de sens opposé au champ E. Enfin, ne pas confondre la tension U (V) et le champ E (V/m).
L’essentiel à retenir
- Dans un référentiel galiléen, ΣF = ma ; on intègre deux fois avec les conditions initiales.
- Chute libre : a = g, indépendante de la masse ; x = v0 cos α × t et y = −½ g t2 + v0 sin α × t.
- La trajectoire est une parabole ; flèche h = v02 sin2 α ÷ 2g et portée R = v02 sin 2α ÷ g.
- Entre deux plaques : E = U ÷ d ; F = qE ; a = qE ÷ m, le poids étant négligeable devant F pour une particule élémentaire.
- Pour un électron, la force est opposée au champ : il est dévié vers la plaque positive.
- Particule accélérée sous une tension U : Ec = |q| U.