Quand un manège accélère, vous sentez que quelque chose change même si l’aiguille du compteur ne bouge plus : la direction de la vitesse évolue, donc il y a de l’accélération. En terminale, ces deux grandeurs deviennent des vecteurs, dérivées successives du vecteur position, et décrivent aussi bien un freinage qu’un virage ou un satellite.
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Repérer un point : référentiel, repère et vecteur position
Décrire un mouvement n’a de sens que par rapport à un référentiel : un solide de référence (la salle, le sol, la Terre…) auquel on associe un repère d’espace et une horloge. On choisit en général un repère orthonormé (O ; i, j, k), où i, j, k sont trois vecteurs unitaires orthogonaux.
La position d’un point M à l’instant t est donnée par le vecteur position OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Les coordonnées x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires du mouvement. L’ensemble des positions successives est la trajectoire. Les positions s’expriment en mètres (m).
Le vecteur vitesse
Entre les instants t et t + Δt, le point passe de M à M’. Sa vitesse moyenne est le vecteur MM’ ÷ Δt. En faisant tendre Δt vers 0, on obtient la vitesse instantanée : c’est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
v(t) = dOM/dt avec vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt
Vitesse en mètres par seconde (m/s) ; norme v = √(vx2 + vy2 + vz2).
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ; sa norme est la valeur de la vitesse. Sur une chronophotographie où les positions sont repérées à intervalles réguliers Δt, on approche la vitesse en Mi par la corde centrée : v(Mi) ≈ Mi−1Mi+1 ÷ (2Δt).
Un mobile passe de M1(0,40 ; 0,30) m à M3(1,20 ; 0,70) m en 2Δt = 0,20 s. Coordonnées : vx = (1,20 − 0,40) ÷ 0,20 = 4,0 m/s ; vy = (0,70 − 0,30) ÷ 0,20 = 2,0 m/s. Norme : v = √(4,02 + 2,02) = √20 ≈ 4,5 m/s.
Le vecteur accélération : variation de la vitesse
La vitesse change quand sa norme ou sa direction change. L’accélération mesure cette variation : c’est la dérivée du vecteur vitesse, donc la dérivée seconde du vecteur position.
a(t) = dv/dt = d2OM/dt2 avec ax = dvx/dt = d2x/dt2
Accélération en mètres par seconde carrée (m/s2) ; norme a = √(ax2 + ay2 + az2).
Graphiquement, on place deux vecteurs vitesse v1 et v2 à partir d’un même point : le vecteur Δv = v2 − v1 relie leurs extrémités. L’accélération a la même direction et le même sens que Δv : a ≈ Δv ÷ Δt. Elle est dirigée vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire.
Mouvements rectilignes
Si l’accélération est nulle, la vitesse est un vecteur constant : le mouvement est rectiligne uniforme (principe d’inertie), d’équation x(t) = x0 + v t. Si l’accélération est un vecteur constant de même direction que la vitesse, le mouvement est rectiligne uniformément varié. Pour une accélération ax constante, on intègre deux fois, avec les conditions initiales x(0) = x0 et vx(0) = v0 :
vx(t) = a t + v0 x(t) = ½ a t2 + v0 t + x0
En éliminant t : vx2 − v02 = 2 a (x − x0). Unités : m, s, m/s, m/s2.
Une voiture roule à v0 = 20 m/s et freine avec a = −4,0 m/s2 (accélération constante). Elle s’arrête quand v = 0 : t = −v0 ÷ a = 20 ÷ 4,0 = 5,0 s. La distance parcourue vaut d = v02 ÷ (2 |a|) = 400 ÷ 8,0 = 50 m.
Mouvement circulaire uniforme
Un point décrit un cercle de rayon R à vitesse de norme v constante : le mouvement est circulaire uniforme. Bien que v soit constante, la direction du vecteur vitesse change à chaque instant : l’accélération n’est donc pas nulle. Dans la base de Frenet (uT tangent, uN dirigé vers le centre), on montre que :
a = (v2 ÷ R) uN aT = dv/dt = 0
a en m/s2, v en m/s, R en m. Avec v = 2πR ÷ T, on obtient aussi a = 4π2R ÷ T2.
Un manège de rayon R = 5,0 m fait un tour en T = 8,0 s. Vitesse : v = 2πR ÷ T = 2π × 5,0 ÷ 8,0 ≈ 3,9 m/s. Accélération : a = v2 ÷ R = 3,932 ÷ 5,0 ≈ 3,1 m/s2, dirigée vers l’axe du manège.
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Pour un projectile soumis à son seul poids, l’accélération est le vecteur constant a = g, de coordonnées (0 ; −g) dans un repère à l’axe y vertical vers le haut. Avec une vitesse initiale de norme v0 faisant l’angle α avec l’horizontale, deux intégrations donnent : vx = v0 cos α ; vy = −g t + v0 sin α ; x = v0 cos α · t ; y = −½ g t2 + v0 sin α · t. La trajectoire est une parabole. Au sommet, vy = 0 mais l’accélération vaut toujours g.
Une accélération nulle ne signifie pas « immobile » (c’est le mouvement rectiligne uniforme), et une vitesse nulle n’implique pas une accélération nulle (sommet d’un lancer vertical). Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération n’est pas nulle bien que v soit constante.
L’essentiel à retenir
- OM(t) = x i + y j + z k ; v = dOM/dt ; a = dv/dt = d²OM/dt².
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire ; sur une chronophotographie, v(Mi) ≈ Mi−1Mi+1 ÷ (2Δt).
- L’accélération est dirigée vers l’intérieur de la courbure ; a ≈ Δv ÷ Δt.
- Mouvement rectiligne uniformément varié : v = a t + v0 ; x = ½ a t² + v0 t + x0.
- Mouvement circulaire uniforme : a = v² ÷ R, vers le centre ; aT = 0.
- Dans un champ uniforme, a = g constante et la trajectoire est une parabole.