Voici le corrigé détaillé des exercices sur la lunette afocale. Pour chaque calcul, vérifie que tu as bien converti les angles en radians quand c’est nécessaire et que tes longueurs sont dans la même unité.
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Corrigé détaillé des exercices sur la lunette afocale
Correction de l’exercice 1 : Questions de cours1. Deux lentilles minces convergentes de même axe : l’objectif L1 (grande focale) et l’oculaire L2 (petite focale).
2. Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire : F1′ = F2.
3. Dans le plan focal image de l’objectif.
4. G = α′ ÷ α = f1′ ÷ f2′.
5. C’est l’image de l’objectif donnée par l’oculaire : la zone où doit se placer la pupille de l’œil pour recevoir toute la lumière.
a. Faux : l’objectif a la plus grande focale ; G = f1′ ÷ f2′ doit être supérieur à 1.
b. Vrai : un objet à l’infini donne une image intermédiaire dans le plan focal de L2, donc une image finale à l’infini.
c. Faux : G est un rapport de grandeurs de même nature, sans unité.
d. Vrai : la distance entre les lentilles est f1′ + f2′.
e. Faux : l’image finale est renversée.
f. Faux : la luminosité dépend du diamètre de l’objectif ; un grossissement plus grand diminue même la luminosité de l’image.
1. C = 1 ÷ 0,50 = 2,0 δ ; C = 1 ÷ 0,025 = 40 δ.
2. f′ = 1 ÷ 8,0 = 0,125 m = 12,5 cm (125 mm) ; f′ = 1 ÷ 10 = 0,10 m = 10 cm.
3. f1′ = 1 ÷ 1,25 = 0,80 m ; f2′ = 1 ÷ 40 = 0,025 m = 25 mm ; G = 0,80 ÷ 0,025 = 32.
1. L1 est l’objectif, L2 l’oculaire.
2. C’est le foyer image F1′ de l’objectif ; pour que la lunette soit afocale, il doit être confondu avec le foyer objet F2 de l’oculaire.
3. G = 1 000 ÷ 25 = 40 ; L = 1 000 + 25 = 1 025 mm.
4. Le faisceau est parallèle (image à l’infini) : l’œil normal l’observe sans accommoder, donc sans fatigue.
Ligne 1 : G = 600 ÷ 12,5 = 48 ; L = 600 + 12,5 = 612,5 mm.
Ligne 2 : G = 900 ÷ 30 = 30 ; L = 930 mm.
Ligne 3 : G = 1 200 ÷ 8,0 = 150 ; L = 1 208 mm.
Ligne 4 : f1′ = G × f2′ = 60 × 15 = 900 mm ; L = 915 mm.
Ligne 5 : f2′ = f1′ ÷ G = 500 ÷ 25 = 20 mm ; L = 520 mm.
1. α = h ÷ d = 3 474 ÷ 3,844 × 105 = 9,04 × 10−3 rad ; en degrés : 9,04 × 10−3 × 180 ÷ π = 0,52°.
2. α′ = G × α = 40 × 9,04 × 10−3 = 0,36 rad (le calcul donne 0,3615) ; en degrés : 40 × 0,518 ≈ 21°.
3. Détail minimal à l’œil nu : hmin = d × 2,9 × 10−4 = 3,844 × 105 × 2,9 × 10−4 ≈ 1,1 × 102 km. Avec la lunette, on sépare un angle 40 fois plus petit : 112 ÷ 40 ≈ 2,8 km.
1. Dans le plan focal image de l’objectif.
2. A1B1 = f1′ × tan α ≈ 800 × 9,0 × 10−3 = 7,2 mm.
3. 1 200 × 9,0 × 10−3 = 10,8 mm : une plus grande focale donne une plus grande image intermédiaire.
4. tan α′ = A1B1 ÷ f2′ = 7,2 ÷ 20 = 0,36 ; G = tan α′ ÷ tan α ≈ 0,36 ÷ 9,0 × 10−3 = 40, ce qui est bien f1′ ÷ f2′ = 800 ÷ 20.
1. Un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié.
2. tan α = 21,5 ÷ 250 = 0,086 ; α = arctan 0,086 ≈ 4,9°.
3. Le faisceau émergent est parallèle à la droite (B1O2), qui monte vers l’axe de B1 (à 21,5 px sous l’axe, dans le plan de F2) jusqu’à O2, situé à 50 px de ce plan. tan α′ = 21,5 ÷ 50 = 0,43 ; α′ ≈ 23°.
4. G = tan α′ ÷ tan α = 0,43 ÷ 0,086 = 5,0 ; avec les focales : 250 ÷ 50 = 5,0. Les deux méthodes concordent (dans le modèle des petits angles).
1. G = α′ ÷ α = 14 ÷ 0,40 = 35.
2. f2′ = f1′ ÷ G = 700 ÷ 35 = 20 mm ; L = 700 + 20 = 720 mm.
3. α′ = 35 × 0,25° = 8,75°, soit environ 8,8°.
1. Un œil normal au repos voit nettement les objets à l’infini : il n’a aucun effort d’accommodation à fournir, donc pas de fatigue pendant une longue observation.
2. F1′ = F2 : le foyer image de l’objectif coïncide avec le foyer objet de l’oculaire.
3. On déplace légèrement l’oculaire (mise au point) pour que l’image finale reste nette ; l’œil accommode un peu si l’image n’est plus à l’infini.
1. C’est une droite passant par l’origine : G est proportionnel à f1′.
2. Pour 600 mm : G = 30 ; pour 1 000 mm : G = 50.
3. Coefficient directeur : (50 − 0) ÷ (1 000 − 0) = 0,050 mm−1, soit 1 ÷ f2′ avec f2′ = 20 mm.
4. f1′ = G × f2′ = 60 × 20 = 1 200 mm.
1. Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine : α′ est proportionnel à α : α′ = G × α.
2. Pour α = 0,80°, α′ = 20,1° : G = 20,1 ÷ 0,80 ≈ 25 (contrôle : 5,0 ÷ 0,20 = 25 ; 10,1 ÷ 0,40 = 25,3 ; 14,9 ÷ 0,60 = 24,8 ; 20,1 ÷ 0,80 = 25,1).
3. f2′ = f1′ ÷ G = 1 000 ÷ 25 = 40 mm.
4. α′ = 25 × 0,52° = 13°.
1. G = 1 000 ÷ 25 = 40.
2. D′ = D1 ÷ G = 100 ÷ 40 = 2,5 mm. Position : OA′ = 25 × (1 000 + 25) ÷ 1 000 = 25,6 mm derrière l’oculaire, soit un peu au-delà de F2′.
3. Oui : D′ = 2,5 mm est inférieur à 7 mm, toute la lumière peut entrer dans la pupille.
4. (100 ÷ 7)2 = 14,32 ≈ 2,0 × 102 fois plus de lumière (rapport des surfaces collectrices).
1. Oculaire 10 mm : G = 700 ÷ 10 = 70 ; oculaire 25 mm : G = 700 ÷ 25 = 28.
2. D′ = 70 ÷ 70 = 1,0 mm et D′ = 70 ÷ 28 = 2,5 mm.
3. Avec 5 mm : G = 140, soit exactement 2 × 70 : c’est la limite du grossissement utile ; D′ = 70 ÷ 140 = 0,50 mm, image très sombre et sensible à la turbulence. Peu raisonnable sauf pour un astre brillant et un ciel très calme.
1. 45″ = 45 ÷ 3 600 = 0,0125° ; en radians : 0,0125 × π ÷ 180 = 2,2 × 10−4 rad.
2. 2,2 × 10−4 rad < 2,9 × 10−4 rad (1′) : l’œil nu ne distingue pas le disque, Jupiter apparaît comme un point.
3. α′ = 100 × 0,0125° = 1,25° = 75′, bien supérieur à 1′ : le disque est discernable.
1. Une brique vue à travers la lunette sous un angle 4 fois plus grand que celui d’une brique à l’œil nu : le rapport des angles est le grossissement.
2. G = 4,0.
3. f2′ = 400 ÷ 4,0 = 100 mm ; L = 400 + 100 = 500 mm.
1. Sommet à 10 km (OA = −1,0 × 107 mm) : 1 ÷ OA′ = 1 ÷ 1 000 − 1 ÷ 107 = 9,999 × 10−4 mm−1, donc OA′ ≈ 1 000,1 mm. Tour à 100 m (OA = −1,0 × 105 mm) : 1 ÷ OA′ = 10−3 − 10−5 = 9,9 × 10−4, donc OA′ ≈ 1 010,1 mm.
2. Écart : 0,1 mm pour le sommet, 10,1 mm pour la tour.
3. On éloigne l’oculaire de l’objectif de cet écart pour que A1B1 reste dans le plan focal objet de L2 : c’est la mise au point.
1. G = 900 ÷ 25 = 36 ; 900 ÷ 10 = 90 ; 900 ÷ 6 = 150.
2. Gmin = 0,5 ÷ 0,0056 ≈ 90.
3. Limite utile : 2 × 90 = 180, donc 90 et 150 sont autorisés. L’oculaire de 10 mm (G = 90, α′ = 0,50°, D′ = 90 ÷ 90 = 1,0 mm) suffit ; celui de 6 mm (G = 150, α′ = 0,83°, D′ = 0,60 mm) donne une image plus grande mais plus sombre et plus sensible à la turbulence. On commence avec 10 mm et on passe à 6 mm si l’air est calme. L’oculaire de 25 mm (α′ = 0,20°) est insuffisant.
1. f′ = 1 ÷ C : 1 000 mm, 250 mm et 50 mm.
2. (1 000 ; 250) : G = 4,0, L = 1 250 mm. (1 000 ; 50) : G = 20, L = 1 050 mm. (250 ; 50) : G = 5,0, L = 300 mm.
3. Il faut G ≥ 5 : restent (1 000 ; 50) et (250 ; 50) ; la plus courte est (250 ; 50) : objectif 4,0 δ, oculaire 20 δ, G = 5,0 et L = 300 mm.
4. G = 50 ÷ 1 000 = 0,05 : l’angle est divisé par 20 ; on aurait un instrument qui réduit, inutile pour observer.
1. f1′ = 30 f2′ et f1′ + f2′ = 1 240, donc 31 f2′ = 1 240 : f2′ = 40 mm et f1′ = 1 200 mm.
2. α′ = 30 × 0,52° = 15,6° ; A1B1 = 1 200 × 9,1 × 10−3 ≈ 10,9 mm.
3. D′ = 60 ÷ 30 = 2,0 mm : inférieur à la pupille, très bien adapté à l’œil.
4. L’image finale est renversée ; on la rend nette par un léger déplacement de l’oculaire.
Comment progresser après ce corrigé
Si tu hésites, reprends le schéma de la lunette et repère toujours le plan focal commun, puis la relation tan α = A₁B₁ ÷ f₁′. Distingue bien les angles (radians) des longueurs (millimètres) et vérifie que G est sans unité. Refais ensuite les exercices 8, 13 et 20 sans regarder les solutions.