Satellites et lois de Kepler : corrigé des exercices physique terminale – PDF gratuit à télécharger et imprimer

1. F = G m_A m_B ÷ r², avec F en N, m en kg, r en m et G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².
2. Orbites : ellipses dont le Soleil est un foyer. Aires : aires égales balayées en durées égales. Périodes : T² ÷ a³ = constante pour tous les astres autour du même attracteur.
3. Radiale, dirigée vers le centre de la Terre, de valeur G M ÷ r² ; elle ne dépend pas de la masse du satellite.
4. Quand l’altitude augmente, la vitesse diminue et la période augmente.
5. Orbite circulaire, dans le plan équatorial, sens de rotation de la Terre, période de 86 164 s.

a. Faux : F varie en 1 ÷ r², elle est divisée par 4.
b. Vrai : v = √(G M ÷ r), la masse du satellite se simplifie.
c. Faux : v diminue quand r augmente.
d. Faux : elle est maximale au périhélie, minimale à l’aphélie.
e. Faux : un satellite géostationnaire n’est au-dessus que de l’équateur.
f. Vrai : T = 2π √(r³ ÷ (G M)).

1. F = G M_T m_L ÷ d² = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 7,35 × 10²² ÷ (3,84 × 10⁸)² = 1,98 × 10²⁰ N.
2. La même valeur, 1,98 × 10²⁰ N, en sens opposé : principe des actions réciproques.
3. a = F ÷ m_L = 1,98 × 10²⁰ ÷ 7,35 × 10²² = 2,7 × 10⁻³ m/s², environ 3 600 fois plus faible que g₀ (9,78 ÷ 2,7 × 10⁻³ ≈ 3,6 × 10³).

1. Un objet de masse m subit F = G M m ÷ r² ; le champ est g = F ÷ m = G M ÷ r².
2. g(R_T) = 3,98 × 10¹⁴ ÷ (6,38 × 10⁶)² = 9,78 N/kg.
3. r = 6,78 × 10⁶ m : g = 3,98 × 10¹⁴ ÷ (6,78 × 10⁶)² = 8,66 N/kg.
4. F = m g = 80 × 8,66 = 6,9 × 10² N. Il flotte car la station et lui sont en chute libre avec la même accélération : il n’appuie plus sur le plancher.

1. r = R_T + h = 6,38 × 10⁶ + 8,0 × 10⁵ = 7,18 × 10⁶ m.
2. m a = G M m ÷ r² et a = v² ÷ r donnent v = √(G M ÷ r) = √(3,98 × 10¹⁴ ÷ 7,18 × 10⁶) = 7,45 × 10³ m/s.
3. T = 2π r ÷ v = 2π × 7,18 × 10⁶ ÷ 7,45 × 10³ = 6,06 × 10³ s, soit 101 min.

1. La vitesse diminue : v = √(G M ÷ r) décroît quand r = R_T + h augmente.
2. À h = 1 000 km on lit environ 7,35 km/s.
3. r = 7,38 × 10⁶ m ; v = √(3,98 × 10¹⁴ ÷ 7,38 × 10⁶) = √(5,39 × 10⁷) = 7,35 × 10³ m/s, conforme.
4. À 400 km : environ 7,66 km/s ; à 1 500 km : environ 7,1 km/s (entre les points à 1 200 km et 1 600 km). Le satellite à 400 km est plus rapide, d’environ 0,5 km/s.

1. Le centre de l’orbite doit être le centre de la Terre (force dirigée vers ce centre) ; pour rester fixe au-dessus d’un point, celui-ci tourne en cercle d’axe l’axe des pôles : seul l’équateur a son plan qui contient le centre de la Terre.
2. r = (G M_T T² ÷ 4π²)^1/3 = (3,98 × 10¹⁴ × 86 164² ÷ 39,48)^1/3 = (7,49 × 10²²)^1/3 = 4,22 × 10⁷ m.
3. h = r − R_T = 4,22 × 10⁷ − 6,38 × 10⁶ = 3,58 × 10⁷ m soit 35 800 km.
4. v = 2π r ÷ T = 2π × 4,22 × 10⁷ ÷ 86 164 = 3,07 × 10³ m/s.

1. a³ = T² = 1,88² = 3,53 donc a = 3,53^1/3 = 1,52 ua.
2. T² = 0,723³ = 0,378 donc T = 0,615 an, soit 0,615 × 365,25 = 225 jours.
3. T² = 2,77³ = 21,3 donc T = 4,61 ans.

1. 2a = r_p + r_a = 35,686 ua donc a = 17,84 ua.
2. T = a^3/2 = 17,84^3/2 = 75,4 ans.
3. Aux extrémités du grand axe, l’aire balayée pendant Δt vaut ½ r v Δt : r_p v_p = r_a v_a, donc v_p ÷ v_a = r_a ÷ r_p = 35,1 ÷ 0,586 = 59,9 : la comète est environ 60 fois plus rapide au périhélie.

1. T ÷ 12 = 1 an entre deux positions consécutives.
2. Elle va le plus vite près du Soleil, entre les positions 11, 0 et 1 (positions très écartées), et le plus lentement loin du Soleil, vers la position 6 (positions serrées) : à durée égale, le segment Soleil-comète doit balayer la même aire, donc l’arc est plus long quand le segment est court.
3. Les aires sont égales (même durée d’un an) : loi des aires.
4. a³ = T² = 144 donc a = 144^1/3 = 5,24 ua.
5. r_p = 5,24 × (1 − 0,80) = 1,05 ua ; r_a = 5,24 × 1,80 = 9,43 ua ; r_a ÷ r_p = 9,0 : la vitesse au périhélie est 9 fois celle de l’aphélie.

1. T = 365,25 × 24 × 3 600 = 3,156 × 10⁷ s.
2. T² ÷ a³ = 4π² ÷ (G M_S) donne M_S = 4π² a³ ÷ (G T²).
3. M_S = 39,48 × (1,496 × 10¹¹)³ ÷ (6,67 × 10⁻¹¹ × (3,156 × 10⁷)²) = 39,48 × 3,348 × 10³³ ÷ 6,64 × 10⁴ = 1,99 × 10³⁰ kg.
4. Non : le mouvement de la Terre ne dépend que de la masse de l’astre central ; la masse de la Terre se simplifie. Pour la peser, il faut observer un satellite qui tourne autour d’elle.

1. T = 1,77 × 86 400 = 1,53 × 10⁵ s.
2. M = 4π² a³ ÷ (G T²) = 39,48 × (4,22 × 10⁸)³ ÷ (6,67 × 10⁻¹¹ × (1,53 × 10⁵)²) = 39,48 × 7,51 × 10²⁵ ÷ 1,56 = 1,90 × 10²⁷ kg.
3. 1,90 × 10²⁷ ÷ 5,97 × 10²⁴ = 318 : Jupiter est environ 318 fois plus massive que la Terre.

1. Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine : T² est proportionnel à r³ (troisième loi).
2. Coefficient directeur : (9,65 × 10⁹) ÷ (9,73 × 10²²) = 0,99 × 10⁻¹³ = 9,9 × 10⁻¹⁴ s²/m³.
3. k = 4π² ÷ (G M) donc M = 4π² ÷ (G k) = 39,48 ÷ (6,67 × 10⁻¹¹ × 9,9 × 10⁻¹⁴) = 5,98 × 10²⁴ kg.
4. Écart relatif : (5,98 − 5,97) ÷ 5,97 ≈ 0,2 %, très faible : la loi est bien vérifiée.

1. r = 6,78 × 10⁶ m ; v = √(3,98 × 10¹⁴ ÷ 6,78 × 10⁶) = 7,66 × 10³ m/s = 7,66 × 3,6 × 10³ = 2,76 × 10⁴ km/h.
2. T = 2π r ÷ v = 5,56 × 10³ s = 92,6 min.
3. 86 400 ÷ 5 558 = 15,5 tours.
4. En 92,6 min, la station fait un tour : elle voit le Soleil se lever et se coucher à chaque tour, soit environ 15 levers de Soleil par jour.

1. r = 6,38 × 10⁶ + 2,02 × 10⁷ = 2,66 × 10⁷ m.
2. T = 2π √(r³ ÷ (G M)) = 2π √(1,878 × 10²² ÷ 3,98 × 10¹⁴) = 2π √(4,72 × 10⁷) = 2π × 6,87 × 10³ = 4,31 × 10⁴ s, soit 11 h 59 min.
3. v = 2π r ÷ T = 3,87 × 10³ m/s.
4. La période est environ la moitié de la période de rotation de la Terre (23 h 56 min) : le satellite fait deux tours par jour, il n’est pas géostationnaire.

1. v_B ÷ v_A = √(r_A ÷ r_B) = √(1 ÷ 4) = 1 ÷ 2 : B est deux fois plus lent.
2. T_B ÷ T_A = (r_B ÷ r_A)^3/2 = 4^3/2 = 8.
3. T_B = 8 × 90 = 720 min = 12 h.
4. a = G M ÷ r² : a_A ÷ a_B = (r_B ÷ r_A)² = 16 : A a l’accélération la plus grande, 16 fois celle de B.

1. T = 27,3 × 86 400 = 2,36 × 10⁶ s.
2. r³ = G M_T T² ÷ 4π² = 3,98 × 10¹⁴ × (2,36 × 10⁶)² ÷ 39,48 = 5,61 × 10²⁵ m³ donc r = 3,83 × 10⁸ m, très proche de 3,84 × 10⁸ m.
3. v = 2π r ÷ T = 2π × 3,83 × 10⁸ ÷ 2,36 × 10⁶ = 1,02 × 10³ m/s, soit environ 3 670 km/h.

1. À 400 km : r = 6,78 × 10⁶ m, v = 7 664 m/s. À 350 km : r = 6,73 × 10⁶ m, v = √(3,98 × 10¹⁴ ÷ 6,73 × 10⁶) = 7 692 m/s.
2. La vitesse augmente d’environ 28 m/s alors que la station est freinée : c’est contre-intuitif.
3. Le frottement fait perdre de l’énergie mécanique : l’orbite descend. Or v = √(G M ÷ r) croît quand r diminue ; la station, plus bas, tourne plus vite : l’énergie potentielle gravitationnelle perdue est plus que compensée par le gain d’énergie cinétique.

1. r = 6,38 × 10⁶ + 7,0 × 10⁵ = 7,08 × 10⁶ m ; v = √(3,98 × 10¹⁴ ÷ 7,08 × 10⁶) = 7,50 × 10³ m/s ; T = 2π r ÷ v = 5,93 × 10³ s (98,9 min).
2. 86 400 ÷ 5 932 = 14,6 tours par jour.
3. Son orbite est fixe dans l’espace, la Terre tourne dessous : entre deux passages, la trace au sol se décale en longitude (environ 24,7° par tour) ; il survole donc successivement toutes les régions, et ne reste jamais au-dessus de la même.

Intérêt. Un satellite géostationnaire reste fixe dans le ciel pour un observateur au sol : les antennes paraboliques sont orientées une fois pour toutes, sans suivi. Altitude imposée. Il doit avoir la période de rotation de la Terre, T = 86 164 s. La troisième loi, r³ = G M_T T² ÷ 4π², donne un rayon unique r = 4,22 × 10⁷ m, donc h = 3,58 × 10⁷ m. Un rayon différent donnerait une période différente et le satellite dériverait par rapport au sol. Comparaison. À 800 km, la période est 101 min : le satellite défile et un point du sol n’est desservi que quelques minutes à chaque passage. Pour un service continu sur une zone, il faudrait une constellation de nombreux satellites (de l’ordre de plusieurs dizaines) avec des antennes suiveuses ; un seul satellite géostationnaire suffit pour couvrir environ un tiers de la surface terrestre.