Le circuit RC : corrigé des exercices de sciences physiques terminale – PDF gratuit à télécharger et imprimer

1. q = C × u_C.
2. La capacité s’exprime en farads (F) ; la constante de temps en secondes (s).
3. i = C × du_C ÷ dt (convention récepteur).
4. C’est la durée caractéristique de la charge ou de la décharge : τ = R × C. Elle correspond à une variation de 63 % de l’écart total.

a. Faux : en régime permanent, i = 0 : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
b. Vrai : une discontinuité de u_C exigerait une intensité infinie.
c. Vrai : τ = R × C est proportionnelle à R.
d. Faux : à t = τ, u_C = 0,63 E ; 99 % n’est atteint qu’après 5τ.
e. Faux : E_C = ½ C u_C² est proportionnelle à u_C².
f. Vrai : à la décharge le condensateur joue le rôle de générateur, donc i est de sens opposé à celui de la charge.

1. u_R est fléchée de la droite vers la gauche de la résistance (sens opposé à i) ; u_C est fléchée vers l’armature où entre i, de la borne négative vers la borne positive du condensateur.
2. E = u_R + u_C.
3. u_R = R × i et i = C × du_C ÷ dt, donc u_R = R C × du_C ÷ dt et R C du_C ÷ dt + u_C = E.
4. À t = 0⁺ : u_C = 0 (continuité), donc u_R = E et i = E ÷ R.

1. R = u ÷ i (en V/A) et C = q ÷ u, d’où R × C = q ÷ i ; or i = q ÷ t en ordre de grandeur, donc R × C s’exprime en secondes (Ω × F = s).
2. τ = 47 × 10³ × 2,2 × 10⁻⁶ = 0,1034 s ≈ 0,10 s.
3. τ = 1,0 × 10⁶ × 10 × 10⁻⁹ = 1,0 × 10⁻² s = 10 ms.
4. R = τ ÷ C = 0,50 ÷ 470 × 10⁻⁶ ≈ 1,1 × 10³ Ω, soit environ 1,1 kΩ.

1. q = C × u_C = 470 × 10⁻⁶ × 12 = 5,64 × 10⁻³ C ≈ 5,6 mC.
2. E_C = ½ × 470 × 10⁻⁶ × 12² = 3,384 × 10⁻² J ≈ 34 mJ.
3. Pour 24 V : E_C = ½ × 470 × 10⁻⁶ × 24² ≈ 0,135 J ≈ 135 mJ, soit 4 fois plus : l’énergie est proportionnelle au carré de la tension.

1. u_C(t) = 9,0 × (1 − e^−t÷2,0) : à 1,0 s, 9,0 × (1 − e^−0,5) ≈ 3,5 V ; à 2,0 s, 9,0 × (1 − e⁻¹) ≈ 5,7 V ; à 6,0 s, 9,0 × (1 − e⁻³) ≈ 8,6 V.
2. 0,90 E = E (1 − e^−t÷τ) donne e^−t÷τ = 0,10, soit t = τ × ln 10 = 2,0 × 2,30 ≈ 4,6 s.
3. i(0) = E ÷ R = 9,0 ÷ 20 × 10³ = 4,5 × 10⁻⁴ A = 0,45 mA.

1. L’asymptote est à E = 5,0 V.
2. 0,63 × 5,0 = 3,2 V ; la courbe atteint cette valeur à t ≈ 0,50 s, donc τ ≈ 0,50 s.
3. La tangente à l’origine rejoint l’asymptote u_C = 5,0 V à t ≈ 0,50 s : même résultat.
4. C = τ ÷ R = 0,50 ÷ 2,0 × 10³ = 2,5 × 10⁻⁴ F = 250 µF.

1. u_C(t) = 8,0 × e^−t÷0,30 (en volts, t en secondes).
2. À t = τ : 8,0 × e⁻¹ ≈ 2,9 V. À t = 0,60 s : 8,0 × e⁻² ≈ 1,1 V.
3. 1,0 = 8,0 × e^−t÷τ donne t = τ × ln 8 = 0,30 × 2,08 ≈ 0,62 s.

1. u_C = E e^−t÷τ donne du_C ÷ dt = −(E ÷ τ) e^−t÷τ = −u_C ÷ τ. Alors R C du_C ÷ dt + u_C = −(R C ÷ τ) u_C + u_C = 0 si τ = R C.
2. u_C = E (1 − e^−t÷τ) donne du_C ÷ dt = (E ÷ τ) e^−t÷τ. Alors R C du_C ÷ dt + u_C = E e^−t÷τ + E − E e^−t÷τ = E.
3. À t = 0 : u_C(0) = E (1 − e⁰) = 0.

1. τ = 1,0 × 10³ × 22 × 10⁻⁶ = 2,2 × 10⁻² s = 22 ms.
2. 0,95 E : e^−t÷τ = 0,05, soit t = τ ln 20 ≈ 3,0 τ. 0,99 E : e^−t÷τ = 0,01, soit t = τ ln 100 ≈ 4,6 τ.
3. t_{95 %} ≈ 3,0 × 22 = 66 ms ; t_{99 %} ≈ 4,6 × 22 ≈ 1,0 × 10² ms.

1. τ = 5,0 × 10³ × 200 × 10⁻⁶ = 1,0 s.
2. i(t) = (E ÷ R) e^−t÷τ = 2,0 × 10⁻³ × e^−t (A). i(0) = 2,0 mA ; i(τ) = 2,0 × e⁻¹ ≈ 0,74 mA ; i(3τ) = 2,0 × e⁻³ ≈ 0,10 mA.
3. À t = τ : u_C = 10 × (1 − e⁻¹) ≈ 6,3 V ; u_R = R × i = 5,0 × 10³ × 0,74 × 10⁻³ ≈ 3,7 V. Somme : 6,3 + 3,7 = 10 V = E : la loi des mailles est vérifiée.

1. Le créneau se répète tous les 2,0 s : T = 2,0 s et f = 1 ÷ T = 0,50 Hz.
2. u_C est continue : l’énergie du condensateur ne peut pas changer instantanément, donc la tension monte progressivement.
3. 0,63 × 5,0 ≈ 3,2 V est atteint environ 0,25 s après le front montant : τ ≈ 0,25 s. R = τ ÷ C = 0,25 ÷ 100 × 10⁻⁶ = 2,5 kΩ.
4. En fin de demi-période (1,0 s = 4τ) : u_C ≈ 5,0 × (1 − e⁻⁴) ≈ 4,9 V. La durée 4τ est grande devant τ : la charge est presque complète.

1. ln(E e^−t÷τ) = ln E − t ÷ τ : c’est une fonction affine de t, donc une droite.
2. ln(u_C) = ln E − t ÷ τ.
3. Ordonnée à l’origine ≈ 1,79 ; coefficient directeur = (−1,33 − 1,79) ÷ 2,5 ≈ −1,25 s⁻¹.
4. E = e^1,79 ≈ 6,0 V ; τ = 1 ÷ 1,25 = 0,80 s.

1. q = C × u = 1,0 × 2,5 = 2,5 C ; E_C = ½ × 1,0 × 2,5² = 3,125 J ≈ 3,1 J.
2. Durée = énergie ÷ puissance = 3,1 ÷ 0,10 ≈ 31 s.
3. Pendant la décharge, la tension u_C diminue (exponentiellement) : la diode reçoit une tension de plus en plus faible. L’hypothèse « tout transférable » est donc optimiste : une partie de l’énergie reste dans le condensateur quand la tension passe sous la tension de fonctionnement de la diode.

1. La courbe b monte plus lentement : τ est plus grand, donc R est plus grande (C est la même).
2. Courbe a : u_C = 3,8 V à τ_a ≈ 0,5 s ; courbe b : u_C = 3,8 V à τ_b ≈ 1,0 s.
3. R_a = τ_a ÷ C = 0,5 ÷ 100 × 10⁻⁶ = 5,0 kΩ ; R_b = 1,0 ÷ 100 × 10⁻⁶ = 10 kΩ.
4. R_b ÷ R_a = 2, et τ_b ÷ τ_a = 2 : τ est proportionnelle à R.

1. q = C × u = 120 × 10⁻⁶ × 300 = 3,6 × 10⁻² C = 36 mC ; E_C = ½ × 120 × 10⁻⁶ × 300² = 5,4 J.
2. P = E ÷ Δt = 5,4 ÷ 1,0 × 10⁻³ = 5,4 × 10³ W = 5,4 kW.
3. La charge se fait avec une petite puissance fournie par les piles et un circuit de grande résistance (τ grand), alors que la décharge se fait dans une résistance très faible (τ très petit) : la même énergie est stockée lentement et libérée très vite.

a. La capacité s’exprime en farads (le henry est l’unité d’inductance).
b. À la charge, u_C augmente de façon exponentielle vers E.
c. τ = R × C.
d. En régime permanent, le courant est nul ; E ÷ R est la valeur initiale i(0).
e. E_C = ½ × C × u_C².

1. u_C(0⁺) = 0 ; u_R(0⁺) = E = 12 V ; i(0⁺) = E ÷ R = 12 ÷ 2,0 × 10³ = 6,0 mA.
2. Régime permanent : i = 0, u_R = 0, u_C = E = 12 V ; le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
3. Si u_C faisait un saut, du_C ÷ dt serait infini et i = C × du_C ÷ dt serait infinie : impossible avec un générateur de tension finie et une résistance.
4. Non : i passe de 0 (avant la fermeture) à 6,0 mA immédiatement après ; l’intensité peut être discontinue.

1. u_C = E (1 − e^−t÷τ) = u_seuil donne t = −τ × ln(1 − u_seuil ÷ E) = τ × ln[E ÷ (E − u_seuil)].
2. t = τ ln(12 ÷ 5,0) = 0,875 τ. Donc τ = 30 ÷ 0,875 ≈ 34 s et R = τ ÷ C = 34 ÷ 1,0 × 10⁻³ ≈ 34 kΩ.
3. Avec 33 kΩ : τ = 33 × 10³ × 1,0 × 10⁻³ = 33 s et t = 0,875 × 33 ≈ 29 s.
4. Doubler R (ou doubler C) double τ, donc double t.

Protocole possible. Schéma : alimentation 6 V, interrupteur, résistance 10 kΩ et condensateur en série, voltmètre numérique aux bornes du condensateur (polarité respectée). Étapes : (1) décharger le condensateur en court-circuitant ses bornes ; (2) fermer l’interrupteur et déclencher le chronomètre ; (3) relever u_C toutes les 0,5 s (ou chronométrer le moment où u_C = 0,63 × 6 = 3,8 V) ; (4) tracer u_C(t) et déterminer τ par la méthode des 63 % ou de la tangente ; (5) calculer C = τ ÷ R.
Erreurs. Le voltmètre n’est pas idéal : choisir un appareil de grande résistance interne pour ne pas décharger le condensateur. Le chronométrage à la main introduit une incertitude : répéter la mesure et prendre la moyenne. La tolérance de la résistance (5 %) intervient dans C.