Voici le corrigé du TP sur la troisième loi de Kepler : résultats types, réponses détaillées et compte rendu modèle. Tes lectures du chronogramme peuvent différer légèrement, ce qui modifie peu le résultat final.
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Résultats types : corrigé du TP sur les lois de Kepler
| Satellite | a (RJ) | a (m) | T (jours) | T (s) | a3 (m3) | T2 (s2) | T2 ÷ a3 (s2/m3) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Io | 5,9 | 4,22 × 108 | 1,77 | 1,529 × 105 | 7,51 × 1025 | 2,34 × 1010 | 3,12 × 10−16 |
| Europe | 9,4 | 6,72 × 108 | 3,55 | 3,067 × 105 | 3,04 × 1026 | 9,41 × 1010 | 3,10 × 10−16 |
| Ganymède | 15,0 | 1,07 × 109 | 7,15 | 6,178 × 105 | 1,23 × 1027 | 3,82 × 1011 | 3,09 × 10−16 |
| Callisto | 26,3 | 1,88 × 109 | 16,69 | 1,442 × 106 | 6,65 × 1027 | 2,08 × 1012 | 3,13 × 10−16 |
Réponses aux questions
- L’orbite de Io est vue presque par la tranche depuis la Terre : on observe la projection du mouvement circulaire uniforme sur une droite. Cette projection oscille de part et d’autre de Jupiter entre +a et −a, comme l’abscisse d’un point d’un cercle.
- Les maxima se situent à t ≈ 0,44 j, 2,21 j et 3,98 j. Deux périodes séparent le premier du dernier : T = (3,98 − 0,44) ÷ 2 = 1,77 j, avec une incertitude d’environ ±0,05 ÷ 2 ≈ ±0,03 j. Observer pendant plus de périodes réduit l’incertitude relative sur T.
- L’amplitude maximale vaut environ 5,9 RJ, soit a = 5,9 × 7,15 × 107 = 4,22 × 108 m.
- Les rapports valent 3,12 ; 3,10 ; 3,09 et 3,13 × 10−16 s2/m3 : ils sont pratiquement égaux (écart inférieur à 1,5 %). Cela confirme la troisième loi de Kepler : T2 ÷ a3 est constant pour les satellites d’un même astre.
- T2 ÷ a3 = 4π2 ÷ (G M) donne M = 4π2 a3 ÷ (G T2) = 4π2 ÷ (G k). Avec k = 3,11 × 10−16 s2/m3 (coefficient directeur, ou moyenne des rapports) : M = 39,48 ÷ (6,67 × 10−11 × 3,11 × 10−16) = 1,90 × 1027 kg.
- L’écart avec la valeur de référence est inférieur à 1 % (écart relatif ≈ 0,3 %). Sources d’erreur : la lecture des instants des maxima du chronogramme (±0,05 j) et la précision sur le rayon d’orbite lu à ±0,1 RJ ; l’approximation d’une orbite circulaire et le rayon de Jupiter utilisé.
- La masse de Io n’intervient pas dans la troisième loi (elle se simplifie dans la deuxième loi de Newton) ; il faudrait observer un corps en orbite autour d’Io pour la déterminer.
Conclusion et compte rendu modèle
Nous avons étudié le mouvement des quatre principaux satellites de Jupiter. À partir du chronogramme de l’élongation d’Io, nous avons mesuré une période T = 1,77 jour et un rayon d’orbite a = 5,9 RJ = 4,22 × 108 m. En ajoutant les données d’Europe, de Ganymède et de Callisto, nous avons calculé le rapport T2 ÷ a3 : il vaut environ 3,1 × 10−16 s2/m3 pour les quatre satellites, ce qui vérifie la troisième loi de Kepler. Le graphique de T2 en fonction de a3 est une droite passant par l’origine. La relation T2 ÷ a3 = 4π2 ÷ (G M), déduite de la deuxième loi de Newton, permet d’exprimer la masse de Jupiter et donne M ≈ 1,90 × 1027 kg, soit environ 318 fois la masse de la Terre. Cette valeur est en accord, à moins de 1 %, avec la valeur de référence. La précision est limitée par la lecture du chronogramme et par l’hypothèse d’orbites circulaires.
Erreurs fréquentes en TP
- Oublier de convertir les jours en secondes et les rayons joviens en mètres avant d’appliquer la formule.
- Mesurer la période entre un maximum et un minimum au lieu de deux maxima successifs.
- Confondre T2 ÷ a3 avec T ÷ a et oublier les puissances.
- Lire le coefficient directeur sur deux points trop proches de l’origine : prendre le point le plus éloigné.
- Ne pas écrire les unités dans le tableau et sur les axes.