La Lune tourne autour de la Terre en 27 jours, la station spatiale internationale en 93 minutes, et un satellite de télévision semble immobile au-dessus de l’équateur : trois mouvements très différents, une seule explication, la gravitation. Ce chapitre sur les satellites et les lois de Kepler montre comment la deuxième loi de Newton prédit la vitesse, la période et l’altitude d’une orbite.
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Satellites et lois de Kepler : l’interaction gravitationnelle
Deux corps à répartition sphérique de masse, de masses mA et mB et dont les centres sont distants de r, s’attirent mutuellement. Cette interaction à distance est toujours attractive.
F = G × mA × mB ÷ r2
F en N, masses en kg, r en m, constante G = 6,67 × 10−11 N·m2·kg−2. La force est dirigée selon la droite qui joint les centres.
Un astre de masse M crée en un point situé à la distance r de son centre un champ gravitationnel de valeur g = G M ÷ r2, dirigé vers le centre de l’astre. Pour la Terre (MT = 5,97 × 1024 kg, RT = 6,38 × 106 m), la valeur à la surface est g0 = 6,67 × 10−11 × 5,97 × 1024 ÷ (6,38 × 106)2 = 9,78 N/kg. À 400 km d’altitude, r = 6,78 × 106 m et g = 8,66 N/kg : la pesanteur n’est pas nulle en orbite, elle n’a simplement pas d’effet de « poids » parce que le satellite et ses occupants tombent ensemble.
Le mouvement circulaire d’un satellite
On étudie un satellite de masse m, assimilé à un point, en orbite à la distance r du centre de la Terre, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n’est soumis qu’à l’attraction de la Terre. La deuxième loi de Newton donne ma = G M m ÷ r2 u (le vecteur u pointe vers le centre de la Terre) donc a = G M ÷ r2, dirigée vers le centre : elle ne dépend pas de la masse du satellite.
Pour une trajectoire circulaire, l’accélération est donc radiale : la composante tangentielle est nulle, la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est circulaire uniforme. L’accélération vaut alors v2 ÷ r, d’où G M ÷ r2 = v2 ÷ r.
v = √(G M ÷ r) ; T = 2π r ÷ v = 2π √(r3 ÷ (G M))
v en m/s, T en s, r = R + h en m (distance au centre de l’astre, h étant l’altitude), M en kg. Plus l’orbite est haute, plus le satellite est lent et sa période longue.
La station spatiale évolue à h = 400 km : r = 6,38 × 106 + 4,0 × 105 = 6,78 × 106 m. Avec G MT = 3,98 × 1014 m3/s2 : v = √(3,98 × 1014 ÷ 6,78 × 106) = 7,66 × 103 m/s (soit 27 600 km/h). Période : T = 2π × 6,78 × 106 ÷ 7,66 × 103 = 5,56 × 103 s, soit 92,6 min : la station fait environ 15,5 tours par jour.
Les trois lois de Kepler
Avant Newton, Johannes Kepler avait résumé les mouvements des planètes en trois lois, valables pour tout astre en orbite autour d’un astre attracteur (Soleil pour les planètes, Terre pour la Lune et les satellites, Jupiter pour ses lunes).
- 1re loi (orbites) : dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil occupe l’un des deux foyers.
- 2e loi (aires) : le segment qui relie le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La planète va plus vite près du Soleil (périhélie) que loin (aphélie).
- 3e loi (périodes) : le rapport T2 ÷ a3 est le même pour tous les astres qui orbitent autour du même astre ; a est le demi-grand axe de l’ellipse. Pour un cercle, a = r, et la relation du paragraphe précédent donne T2 ÷ a3 = 4π2 ÷ (G M).
Jupiter orbite à a = 5,20 ua du Soleil. En unités astronomiques (ua) et années, la Terre donne T2 ÷ a3 = 1. Pour Jupiter, T2 = 5,203 = 140,6 donc T = 11,9 ans.
Déterminer la masse de l’astre attracteur
La troisième loi, écrite avec la constante 4π2 ÷ (G M), permet de peser un astre en mesurant la période et le rayon d’orbite d’un de ses satellites : M = 4π2 a3 ÷ (G T2). Pour le Soleil et la Terre (a = 1,496 × 1011 m, T = 365,25 j = 3,156 × 107 s) : MS = 4π2 × (1,496 × 1011)3 ÷ (6,67 × 10−11 × (3,156 × 107)2) = 1,99 × 1030 kg. La masse du satellite n’intervient pas : on ne peut peser que l’astre central.
Le satellite géostationnaire
Un satellite est géostationnaire s’il reste fixe pour un observateur terrestre. Trois conditions sont nécessaires : son orbite est circulaire, dans le plan équatorial, parcourue dans le sens de rotation de la Terre avec une période égale à la période de rotation sidérale de la Terre, T = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s. La troisième loi fixe alors un rayon d’orbite unique.
r3 = G MT T2 ÷ (4π2) = 3,98 × 1014 × (86 164)2 ÷ 39,48 = 7,49 × 1022 m3, d’où r = 4,22 × 107 m. L’altitude vaut h = r − RT = 4,22 × 107 − 6,38 × 106 = 3,58 × 107 m, soit environ 35 800 km. La vitesse est v = 2π r ÷ T = 3,07 × 103 m/s.
Utiliser l’altitude h à la place de la distance r au centre dans les formules ; penser que la masse du satellite change sa vitesse ou sa période ; affirmer qu’un satellite plus haut va plus vite (c’est l’inverse) ; croire qu’il n’y a plus de pesanteur en orbite.
L’essentiel à retenir
- Force de gravitation : F = G mA mB ÷ r2 ; champ gravitationnel g = G M ÷ r2.
- Orbite circulaire : mouvement uniforme, a = G M ÷ r2 centripète, v = √(G M ÷ r), T = 2π √(r3 ÷ (G M)).
- Kepler : orbite elliptique avec l’astre attracteur au foyer ; aires égales en durées égales ; T2 ÷ a3 = 4π2 ÷ (G M).
- On déduit la masse de l’astre central de M = 4π2 a3 ÷ (G T2).
- Satellite géostationnaire : plan équatorial, T = 86 164 s, r = 4,22 × 107 m, h ≈ 35 800 km.